Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
друг от друга уравнения одной и той
же кривой, записанной в разных системах координат. Но не
исключено, что они сохранят вид, например, когда координатные оси,
являющиеся осями симметрии кривой, повернуты на 180°.
Возникает вопрос о разыскании таких преобразований отсчетной
конфигурации, которые оставляли бы неизменной функциональную зависимость
тензора, напряжений от градиента места, иначе говоря, запись уравнения
состояния. Градиент такого
1 2
избранного преобразования v-*v обозначается Н (вместо S),
1 2
индексы над S' отбрасываются S' -- S' - S'. Формулы (5) должно теперь
записать в виде *)
VVR, VR: <|г( Vr) ^ (vR j = <F (h-Vr) = S~ (h_1-Vr) . (6)
*) Знаком v* обозначается "для всех х".
$4j ГРУППА РАВНОПРАВНОСТИ МАТЕРИАЛА 91
Из них следует, что никаким опытом над напряженным состоянием нельзя
обнаружить, был ли материал подвергнут в отсчет-1 / 2 \ 12/ ной
конфигурации v у или v) Н-преобразованию v-*-v I, или
2 1 \
Н^-преобразованию v->v) или не был.
Изменение плотности обнаруживаемо, Н-преобразования должны оставлять
плотность неизменной
det Н - ± 1 (7)
(не исключены преобразования, сопровождаемые инверсией).
Самый простой пример представляет мысленный опыт с нагружением кубика
силами, сохраняющими величину и направление. Грани кубика,
перпендикулярные осям XYZ, назовем 1, 2, 3; нагружение осуществляется
силами, параллельными оси Y. 1 1 2 В и-конфигурации нагружена грань 2, а
преобразование v->v осуществляется поворотом кубика на 90° вокруг оси Z.
Нагруженной окажется грань 1, причем деформация кубика, значит, и
напряженное состояние в нем может измениться, может остаться неизменным.
В первом случае поворот не является, во втором является Н-
преобразованием. То же можно повторить о повороте на 90° вокруг оси X,
когда нагруженной становится грань 3.
Н-преобразования образуют группу. Это значит, что если соотношениям (6)
удовлетворяют Нх- и Н2-преобразования, то и преобразования Hj-Hg, H2HX
являются Н-преобразованием. Н-1 -также Н-преобразование; единичный тензор
Е, конечно, Н-преобразование.
Доказательство очевидно, Достаточно в соотношениях
VVR: J^(vr)=ct(hi.Vr), "Г (vr) =<F (н,-Vr) (8)
2 2 2 2 сделать замены VR-/H2VR в первом, VR-/H^VR - во втором; это
допустимо, поскольку эти соотношения выполняются
2
для всех VR. Приходим к равенствам
^(h2.vr)^ (h^h.-vr), "t(h1-vr)="^(hj.h1-vr)
и по (8), как и требуется,
<r (vr) = & (h^vr) =<#- (н2-vrJ =<r (н^Н,vr) =
= <#¦ (н.-Hi-vr) .
Группа Н-преобразований, обозначаемая g, называется группой
равноправности материала; тензоры Н - элементы этой группы
Н eg. (9)
92 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ГЛ. 3
Через и обозначается группа всех унимодулярных преобразований-
преобразований, сохраняющих объем. По (7) группа равноправности -
подгруппа унимодулярной группы
gczu. (10)
Напомним, что Н-преобразование отнесено к некоторой отсчетной и-
конфигурации; по ней с помощью Н-преобразования определяются отсчегные
конфигурации, экспериментально от нее неотличимые.
1
Рассмотрим материал, обладающий в у-конфигурации группой 1 2 2
равноправности g, а в у-конфигурации - группой g. По (5) и (4)
VVR: Т = еГ (vr) (vr) (s_1-Vr) , (11)
a no (8)
VVR, H,c=g: <t(vr)-<F (h^Vr) . (12)
l l l
Условие VVR допускает в (11) замену VR-^Hj-VR, так что 1 ( 1 \ 2 /' 1 \
S (hx-VRj VS-^Hj-VR)
и это соотношение по (И) и (12) можно записать в виде
4Vr) =Jr (Hi-VR) -=jr (s^-Vr) (s-^H-Vr) . (13)
Заменив теперь по (4)
S-1 VR = VR, VR = S VR,
no (13) получаем
2 2 / 2 \ 2 / 2' 2/ 2 \
VVR, H2cg: S (vR) = #-(H2-VR)=Jr(s-1- Ht S Vr) . (14) Пришли к
соотношению, называемому правилом Нолла
. Ha = S-1-H1-S, Нх - S- H2 S_1; (15)
в обозначениях теории групп оно записывается в виде
g = s-4s, g-SgS-K (16)
Этим установлена связь между группами равноправности, отне-
1 2
сенными к отсчетным конфигурациям у, у, связанным S-преобразованием (3).
Соотношение (15) удовлетворяет условию (10):
если gczu, то и gczu. Действительно, по (15)
detH.-detS-^detHj-detS --detHj-i 1, и -¦ S^nS. (17)
§5] ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 93
При преобразовании подобия (а - коэффициент подобия)
2 1 12 11 г = аг, 5 = Vr = аг% = аЕ, S-1 = a-1E
и по (16)
g = a-1EgEa=g (18)
- группа равноправности остается неизменной. Как выяснится далее, это
позволяет сказать, что преобразование подобия сохраняет присущие
материалу симметрии. При тождественном преобразовании (S = E) и
преобразовании инверсии (S = - Е) также 2 1
g = g ПО (16).
Триклинным называется материал, группа равноправности
1
которого состоит из двух элементов g=(E, -Е}. Этот материал минимальной
симметрии остается таковым во всех отсчетных конфигурациях
g = S-1{E, E)S = {E, E} = g. (19)
Для материалов максимальной симметрии (таковыми являются
1
простые жидкости) группа равноправности g = и - полная уни-
модулярная группа для о-конфигурации, но и для всех конфигураций, что
следует из (17),
g = S-1"S = " = g. (20)
§ 5. Ортогональное преобразование. Изотропный материал
Ортогональный тензор О со унимодулярен *) (detO=±l), ocg. Иначе говоря,
