Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
неискаженной, поскольку ортогональное преобразование не сопровождается
изменением формы. Группы g, g' - сопряженные внутри ортогональной группы.
Термин "тип анизотропии" следует понимать в широком смысле, он определен
группой равноправности g', а не группой специальных поворотов g,
непосредственно связанных с характеристиками симметрий материала.
Например, симметрии ортотропного материала определяются преобразованиями
вида (II.5.3)
g={0?" О?,, О*}, Ояек, = 2с"ск-Е, (3)
а его группу равноправности ("тип анизотропии") предпочтительно задать по
(2) соотношением
.?' = От-{Ос"1( 0" 0?3}-0 = (2с(с;-Е, 2С&-Е, 2с&-Е} (4)
- в этой записи отражена возможность введения вместо орто-нормированного
триэдра Cj, с2, с, любого ортонормированного
триэдра c'k = ck O. Запись (4) выражает свойство материала
§6] ТВЕРДОЕ ТЕЛО 97
в инвариантной форме, не связанной со специальным выбором триэдра
направлений сп с2, с3.
Назовем, переходя к более общему рассмотрению, g и g группы
равноправности твердого материала, соответствующие двум неискаженным
конфигурациям v и v. Согласно правилу Нолла (4.15)
0= S-i-OS, S-6 = 0S, (5)
причем S = Hr^-градиент места, соответствующий преобразованию v->v и-
конфигурации в V. Как всякий неособенный тензор, тензор S представим его
полярным разложениям
S = UOx = OxV, V = 0XT-U-0X (6)
- сохранены обозначения тензоров искажений и сопровождающего деформацию
v-"-v ортогонального тензора. Конечно, U, V, 0х имеют значения,
отличающиеся от ранее так же обозначенных величин для деформации Теперь
по (5) и (6) имеем
и 0х 0 = 0-и 0х - 0 0Х(0ХТ- и 0х) =0 0х- V (7)
и по теореме о единственности полярного разложения
б = Ох О = О Ох, и б = б-V, б = 0хт00х. (8)
Последнее равенство подобно (2) в терминах групп переписывается в виде
? = 0XTgOx, (9)
но при более общем предположении о преобразовании v->v g и g-группы
равноправности внутри ортогональной группы. Теперь по (8) и (6)
и = б• V бг ^ б• 0х г• и • 0х ¦ Ог - О¦ 0х • 0х г• и • 0х • 0х г• 01.
Пришли к искомому соотношению
U = OUOT, 0TU = U0T, UO = OU. (10)
Оно выражает, что тензор О eg, задающий преобразование отсчетной
неискаженной конфигурации v в отсчетную также неискаженную конфигурацию v
переставйм с тензором искажений U деформации v-*v. Доказывается обратное
предложение: при условии (10) тензор б в (5) -ортогональный (б-бт = ?').
Иначе говоря, группа равноправности geo, если gczo. Заменив для
4 А. И. Лурье
98 УРАВНЕНИЯ состояния [гл. 3
этого S в (5) его выражением (6), имеем
О = 0Хт и-10-и 0х = 0ХГ-00Х, 6Т = 0ХТ-0Т-0Х,
0 0т - 0ХТ О -0Х-0ХТ От-Ох = Е,
что и требуется.
Подставив теперь общее представление ортогонального тензора (1.11.10) в
соотношения переставимости (10), имеем
U-0 ¦= U cos со -|- (1 -cos со) U - сс - U X csinco,
О - U -= U cos си-)- (1 -cos со) сс - U - сх U sin со,
так что
U - О -О - U - (U сс-сс - U) (1 - cos со)-)- (с х U - Uxc) sin со 0
или
U- сс-сс-U + (сХ U - U хс) ctg у = 0. (11)
Далее, как и в II, § 5, рассматриваются моноклинная, ортс-тропная,
кубическая и трансверсально-изотропная группы симметрии.
Тензор U представляется через его главные значения и главные направления
U ~Т WgCoCg "(" С/двдСд (12)
и соотношение (11) преобразуется к виду
3
X u/eeft'c (еД ceft) + uk (CXefteft-)-eftcxeft) ctg у ] =0- (13) k= i L
-1
Примем, что вектор еА имеет направление одного из векторов ст
ортонормированного триэдра с1; с2, с3. Заменив в (13) с на ст (т -
фиксировано), имеем
е с -б °' k^m'
еА-ся- кт-у 1( k = ni' c#Xei = geHeji е*хсй = -ейИе(.
Первая группа слагаемых в (13) отпадает, приходим к соотношению
з
dgyH -wc)e/A = 0. (14)
/(=i
Например, при m-1, Cj-et
ctg-у ("2-"J (е2е3 + eaes) ^0 (15)
и при любом СО Ф л
и.г^и3, U ^ ("1 -м2) ejet + "2Е (16)
§ 7]
ИЗОТРОПНЫЙ ТВЕРДЫЙ МАТЕРИАЛ
99
-трансверсально-изотропный материал, подвергнутый растяжению вдоль оси
трансверсальной изотропии и преобразованию подобия с коэффициентом и2,
остается трансверсально-изотроп-ным в новой отсчетной конфигурации.
Материал остается "неискаженным", сохраняет свои симметрии.
При
С0--=Я, Ctg-^- = 0, 0 = 0е,
условие (15) выполняется для моноклинного материала независимо от главных
значений тензора искажений, если одна из его осей имеет направление оси
моноклинной симметрии. Моноклинный материал остается таковым при любом
растяжении вдоль этой оси и в перпендикулярных ей направлениях. Не теряя
присущей ему симметрии, он не приобретает новых симметрий.
Сохранение группы равноправности ортотропного материала требует
совпадения всех трех осей с]; с2, с3 ортотропии с главными направлениями
тензора искажений (с,я^=ем, т - \, 2, 3). Подвергнутый растяжениям по
этим направлениям материал остается ортотропным.
При афл условие (14) принимает вид
{и2 и3) (^2^3 езег) + (из ^i) (e3ex -j- е^з) -j-
(п3 п2) (е1е2 Т- e2ej) ^ О
и выполняется только при преобразовании подобия
== иг и3, U = аЕ.
В частности, только при таком преобразовании сохраняется группа
равноправности кубической симметрии.
