Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Принцип материальной индифферентности дает средство распознавания
пригодности априорного задания тензора напряжений через задающие движения
среды величины. Приведем два примера.
Включив в состав функционала ?Г вектор места R (г; т)
<Г (г; t)=^ (R (г, т), VR(r;x)),
получили бы по (1.15.1) и (5)
cT(R'(r, т), VR' (г; т)) = От (R (г; т), VR (г; т))-0(f).
В частности, при поступательном движении штрихованной системы
О = От = Е, VR'=VR, R' = c+R
и предшествующее равенство привело бы к соотношению (R (г; т) + с(т),
VR(r, т)) -?Г (R (г, т), VR(r, т)),
которому нельзя удовлетворить при произвольном с(т). Уравнение состояния
материала не может зависеть от места R ча-
§2] ПРИНЦИП МАТЕРИАЛЬНОЙ ИНДИФФЕРЕНТНОСТИ 85
стицы среды, как уже говорилось выше. Здесь этот очевидный факт
представлен, как следствие принципа материальной индифферентности.
Более содержателен второй пример. Для описания движения жидкости
предложено уравнение состояния
Т = Н (v, D, W, р) (10)
- тензор напряжений представлен функцией вектора скорости v, его тензора
деформации D, тензора вихря W, плотности р. Принцип материальной
индифферентности здесь представляется соотношением
T' = H(v', D', W', p') = 0T H(v, D, W, p) 0
и по (1.15.6), (1.15.10), (1.15.7)
H (c+Or v + 0T R, 0T D O, 0T W 0 + 0T 0, p) =
= 0T-H (v, D, W, p)-0. (11)
При поступательном движении штрихованной системы получили бы
0 = Е, 0 = 0, H(c + v, D, W, p) = H(v, D, W, p),
откуда следует, как можно было заранее предвидеть, что вектор скорости не
может быть включен в представление (10). Приняв теперь
Т = Н (D, W, р), Т' = Н(От D O, 0T W 0 + бт 0, р)
и, рассматривая мгновенно-вращательное движение, имеем
0 = Е, 0=^0, Н (D, W + 0T, р) = Н (D, W, р),
так что исключается возможность вхождения аргумента W в состав Н.
Принцип материальной индифферентности допускает представление
Т= Н (D, р), Т' = Н (0TDO, p) = 0T-H(D, р)-0. (12)
По (11.7.1) симметричная тензорная функция Т над симметричным тензором D
изотропна и'^по|(П.7.7) представима квадратичным трехчленом
T = <p0E + cp1D + cp2D2 (13)
с коэффициентами ф, зависящими от инвариантов D и от р. Допуская,
властности, только линейную зависимость^ D, следует принять
Фо = - P(p) + ^(p)/i(D)= - р(р) + 1(р) V-у, фх - 2р (р), Ф2 = 0,
g0 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. 3
приходим к уравнению состояния классической жидкости Навье- Стокса
Т = [- Р (р) + Мр) V-v]E + 2p (р) D.'l (14)
Для несжимаемой жидкости
р = р0 = const, V-v = 0, Т = - /?E + 2p,D, (15)
но давление р отнюдь нельзя считать постоянным. Оно определяется из
уравнения движения, рассматриваемого совместно с уравнением неразрывности
V.T + p0k = p0b, V- v = О,
или
- V/5 + pV2v + p0k = p0b, V*v = 0 (b = v), (16)
так как V. VvT= VV-v = 0, V-D = -^-Vav.
§ 3. Упругий материал
Основываясь на принципах причинности, соседства (локальности
взаимодействий) ' и материальной индифферентности, мы пришли в § 2 к
уравнению состояния простого материала в форме
(2.9) представления тензора напряжения функционалом над пред-историей
тензора искажений. Для упрощения записей в этом соотношении далее
опускается указание на само собой подразумевающуюся зависимость от
материальных координат частиц
Т Д) - 0*т (*) сГ (U (т))-0х {t). (1)
Фактически о предыстории можно делать лишь более или менее
приемлемые предположения. Ближайшей задачей поэтому яв-
ляется исключение предыстории - замена функционала функцией величин,
определенных "теперь" в момент t, а нет=Д - s. Первым шагом должно быть
выделение из'и(т) слагаемого U (t) и представление остаточного члена Q
(t, т)
U(T)-U(f) + Q(f, т). (2)
Обратившись к обозначениям гл. 1, § 17, заменим в тождестве
VR (Т) - г% (т) = г% (t) • VR (т) = VR (t) • VR (т)
градиенты места их полярными представлениями U (т) • Ох'(т) = 1Г(0 • 0х
(t) • U (т) • 0х (т),
U (т) = и|(0 -0х (0<1Г(т)-Ох|'(т).*Охт (т).
§3] УПРУГИЙ МАТЕРИАЛ 81
По (1.12.12)
0х (т) ---= R5 (t) Rs (т), Ох'г (т) ^ Rft (т) г*,
0х (т) ¦ Охт (т) = R" (t) rs =¦ 0х r (/),
откуда находим
U (т) = U (t) • 0х (/) • U (т) ¦ Охт (t). (3)
Теперь разбиению U (т) на два слагаемых (2) придается вид U (т) = U (t) +
U (t) • 0х (0 • (Ь (т) - е) -Охг (/),
Q (t, T) = U(f)-Ox(f)-(u(x)-E)-OXc(0. (4)
t
причем Q (t, t)^0, так как U (/) - E. Функционалу (1) придается вид
JT(U(T))=<r (U(/) + Q(/, т))=<^ (U (*))+?(*, т), (5)
причем
S(t, T)-cr(U(/)+Q (/, т)) - еГ (U (/)). (6)
Уравнение состояния представляется соотношением
Т (0 ^0^-?r(U(t))-0(t) + 0^(t)-S(t, т)-0 х(0, (7)
в котором первое слагаемое -функция (не функционал) тензора и (о в
актуальной конфигурации, второе - функционал над пред-дысторией движения
(функционал памяти). Его структура определена выражениями (6) и (4).
Далее на всем протяжении книги постулируется существование материалов,
подчиняющихся условию
W-т>0 <?(/, т) = 0, (8)
согласующемуся со следствием <§{t, t) = О из соотношений (4) и (6).
Этот постулат исключает из рассмотрения вязкие и упруговязкие материалы,
поведение которых нельзя описать, не учитывая его связи с протеканием во
