Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
трения жидкость. Эта модель применима в тех же процессах, что и
классическая "эйлерова" гидродинамика, в частности, и для несжимаемой
жидкости р =- const. Но было бы ошибкой принять, что в соответствии с (3)
теперь и р~ const. Дело в том, что при р = const движение жидкости
подчинено уравнению неразрывности (1.14.13)
V ¦ v = О
и это условие делает несжимаемую жидкость "материалом с наложенными
связями". Теория таких материалов рассматривается в гл. 7.
Замечание. В число простых материалов, чтобы исчерпать их классификацию
включаются "жидкие кристаллы". В отличие от твердого тела здесь нет места
утверждению (7.6) -группа равноправности жидкого кристалла может включать
и неортогональные преобразования. В этом отношении жидкий кристалл
подобен жидкости, в которой необнаруживаемо любое унимоду-лярное
преобразование. От жидкости жидкий кристалл отличается наличием некоторых
обнаруживаемых, как в твердом теле, ортогональных преобразований. Жидкий
кристалл -жидкость тогда и только тогда, когда он изотропен, когда в нем
необнаруживаемо никакое ортогональное преобразование. Жидкий кристалл-
материал, не лишенный памяти.
Г л а в а 4
УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. Удельная потенциальная энергия деформации
Теория упругости излагается в этой книге, как чисто механическая
дисциплина, оперирующая понятиями сила, напряженное состояние,
деформация, уравнение состояния. Основные положения термоупругости
изложены в заключительной гл. 9, при полном сознании того, насколько
обогащает содержание механики сплошной среды включение термодинамических
принципов. Оправдать это можно тем, что не хотелось, во-первых, отягощать
и без того непростую задачу, во-вторых, что во многих приложениях
тепловые эффекты отодвигаются на второй план.
Принятое в гл. 3, § 3 определение упругого материала, как простого
материала, поведение которого не зависит от предыстории деформирования
("лишенного памяти"), дополняется требованием существования потенциала
напряжений-э-функции гра-
диента места VR или тех или иных мер деформации. Вариация этой величины
равна элементарной работе внешних сил, отнесенной к единице объема в
отсчетной ц-конфигурацни
В соответствии с этим определением э представляет "меру запасенной
энергии". Далее она называется удельной потенциальной энергией деформации
(коротко п. э., там, где это не может вызвать сомнения).
Потенциальная энергия деформации тела в объеме V определяется,
разумеется, выражением
Существование функции э естественно связывается с приписываемой упругой
среде способностью аккумулировать работу внешних сил при нагружении и
возвращать "запасенную энергию" при разгружении. Представление о п. э.
можно связать с термодинамическими потенциалами - свободной энергией (в
изотермическом процессе) или внутренней энергией (в адиабатическом). По
существу, соотношение (1) выражает первое начало
о
б э - б 'а{е)
(1)
(2)
V
104 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
термодинамики применительно к этим процессам. Более общая ситуация
рассмотрена в гл. 9.
Различают упругость по Коши, когда постулат о существовании потенциальной
энергии не выдвигается, и упругость по Грину, когда этот постулат
принят*). Упругий по Грину материал по предложению Трусделла называют
"гиперупругим", но многие авторы не видят необходимости в
этом разделении. Следуя им, мы принимаем, что упругий
материал "гиперупруг".
Возвращаясь к (1) и вспомнив определение элементарной работы (2.7.5),
имеем
6э = Р- • б VRT. (3)
Поэтому, принимая, что э - скалярная функция тензорного о
аргумента VR, по определению (II.2.7) производной приходим к
фундаментальному соотношению для тензора Пиола
Р=^ = *о • W
dyR VR
Воспроизводя снова один из выводов гл. 3, § 2, представим
индифферентный скаляр ayVRy в штрихованном базисе выражением
9 ( vr) = э ( VR') - э ( VR • о) = э (U • 0х ¦ О) = э (U) --= э (G1/*)
(5)
(было использовано соотношение (3.2.6)). Это позволяет далее
о
принимать п. э. функцией VR, U и V, но только для изотропного материала.
Во всех случаях для нее сохраняется обозна-. чение э
s = s(vr)=s(U) = 3(G). (6)
По (11.3.5) получаем также
о
Р = э0 = 2э0 • VR (7)
VR
и далее по (2.6.3), (2.6.11)
Т = 2 VRt-3g-VR, Т=2 )/1~ 90. (8)
Представления тензоров Р и Т в изотропном материале при неискаженной
отсчетной конфигурации через э приобретают со-
*) Понятие о потенциале ввел в математическую физику .Грин (G. Green) в
публикациях 1839-41 гг.
УДЕЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
105
гласно правилу дифференцирования (II.3.6) вид
Р-э0 - 2VR-3f, Т Y-Q VR-P-2 У ¦§¦ F-3P. (9)
VR
Перечисленные здесь формулы, исключая (9), применимы ко всем упругим, а в
статике ко всем простым материалам. Конкретному заданию функциональной
зависимости п. э. от ее аргументов соответствует некоторая группа
материалов. Пригодность принятой зависимости должна проверяться
сравнением результатов решенных на ее основе простейших задач
