Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема переставимости (10), конечно, выполняется при тривиальном условии
U -аЕ независимо от типа анизотропии, в частности, для триклинного
материала. Ни потеря, ни приобретение симметрий в этом материале
невозможны.
Пусть со = п, и2фи3. Этим, как говорилось, определяется моноклинный
материал. Но можно трактовать иначе: подвергнутый растяжениям и2, и3 в
двух взаимно перпендикулярных направлениях, перпендикулярных оси
трансверсальной изотропии трансверсально-изотропный материал становится
моноклинным, изменяется его группа симметрии. Точно так же материал с
кубической симметрией становится ортотропным при сообщении ему растяжений
вдоль трех осей кубической симметрии.
§ 7. Изотропный твердый материал
По определению изотропного материала его группа равноправности gv в любой
неискаженной и-конфигурации, являясь подгруппой группы и всех
унимодулярных преобразований,
4*
100 УРАВНЕНИЯ состояния 1гл. а
содержит группу всех ортогональных преобразований
ocgvcu. (1)
Твердый материал характеризуется наличием в нем неискаженных конфигураций
v с группой равноправности g~--некоторой подгруппой ортогональных
преобразований
g.co. (2)
Иначе говоря, ни при каком неортогональном преобразовании неискаженное
состояние не остается неискаженным.
Из (1) и (2) следует, что в твердом изотропном материале имеются
конфигурации v (неискаженная по определению "изотропность") и v
(неискаженная по определению "твердость"), такие что
gv=30, g~<=0. (3)
Следствием (1), как доказывается в теории групп, являются утверждения
или gv = o, или gv^u. (4)
Приняв второе gv~u и основываясь на (4.20), можно было бы найти
преобразование v->v, определяемое тензором S, такое что
g- - S_1gj,S = S_luS= и (5)
V
в противоречие со вторым соотношением (3), так как оси. Из
(6.9) следует также, что группы gv и g~-сопряженные внутри' группы
ортогональных преобразований. Но gv---= о по первому соотношению (4);
поэтому g~-o.
Итак, группа равноправности изотропного твердого тела в его неискаженной
и-конфигурации - полная ортогональная группа
gv^o. (6)
Любое ортогональное преобразование переводит неискаженное состояние в
неискаженное. Никакой опыт над призматическим образцом, изготовленным из
твердого изотропного материала в неискаженном его состоянии, неспособен
указать, как была направлена в теле ось образца до его изготовления.
Напомним, что осуществляемое тензором ,S=U 0х преобразование одной
неискаженной ^-конфигурации в другую v также неискаженную конфигурацию
выполнимо при условии (6.10), соблюдающемся лишь для преобразования
подобия S = aE. Изо.
УПРУГАЯ ЖИДКОСТЬ
J0I
тройное твердое тело остается таковым только при этом преобразовании.
Например, твердый изотропный материал становится трансверсально-
изотропным при преобразовании (6.16).
§ 8. Упругая жидкость
Простой материал представляет простую жидкость, если для некоторой
отсчетной и-конфигурации его группа равноправности gv является
унимодулярной группой
В этом определении уже содержится утверждение, что жидкость - изотропный
материал. Сославшись же на (4.20), можно сказать большее: группа
равноправности жидкости остается унимодулярной в любой конфигурации.
Жидкость лишена предпочтительных конфигураций, все ее конфигурации -
неискаженные. Ранее уже отмечалось, что изотропный материал -либо твердое
тело, либо жидкость -см. (7.4).
Уравнение состояния упругой жидкости, как изотропного тела,
представляется выражением (3.5.9), но в значительно упрощенном виде. Во-
первых, любая конфигурация является отсчетной, так что V = E; во-вторых,
обнаруживаемы только изменения плотности. Иначе говоря, в представление
тензора напряжений может входить лишь третий инвариант тензора V
но не первый и не второй. В противном случае обнаружились бы свойства,
которых жидкость лишена. Итак, уравнение состояния упругой жидкости
должно иметь вид
Из него следует, что в упругой жидкости не возникают касательные
напряжения.
В § 3 из рассмотрения были исключены материалы, поведение которых зависит
от предыстории движения. Но значительная часть содержания § 4 -§ 7 -
группа равноправности, определение изотропии, твердое тело-переносится и
на такие (неупругие) материалы. Ограничение упругими материалами обеднило
понятие жидкости, оказалась исключенной из рассмотрения даже классическая
жидкость Навье -Стокса.
Здесь неприемлемо представление о лишенном памяти материале, в уравнении
(3.3.7) должен быть сохранен в том или ином приближении функционал памяти
&(t, т). Например, стоксова жидкость "обладает памятью" о состоянии,
непосредственно предшествующем конфигурации в момент t. С другой стороны,
(1)
(2)
Т = -р(р)Е.
(3)
102
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
ГГЛ. 3
в гидростатике любая простая жидкость ведет себя в соответствии с
уравнением состояния (3) упругой жидкости. Это целиком согласуется с
определением упругого материала в статических условиях.
В гидродинамике модель упругой жидкости повторяет "идеальную", лишенную
