Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(растяжение, простой сдвиг и т. д.) с данными измерений. Предложены также
критерии, основанные на априорных представлениях о поведении упругого
тела при нагружении - см. гл. 5, §§ 9-13.
Отметим, что переход от исходного соотношения (3) к представлению (4)
тензора Пиола и следствия из него (6) - (9) за-
о
конны в предположении, что вариация градиента места 6VRT- независимая
величина. Об этом см. гл. 7.
Векторные базисы двух отсчетных неискаженных конфигураций v и v задаются
тройками векторов г., и rs, совмещаемыми ортогональным преобразованием
Охсох, определяющим группу
равноправности g материала (гл. 3, §§ 4, 6). Связь между гради-
о
ентами места в этих базисах VR и VR задается соотношениями
VR = rsR^ = 0XTrsR^ = 0XTVR, VRr = VR?Ox (10)
- не следует смешивать их с формулами (1.15.11) преобразования актуальной
конфигурации при переходе к штрихованному базису.
Меры деформации Коши - Грина и Фингера преобразуются в противоположность
(1.15.13), (1.15.14) по формулам
G =VR VRT = 0XT G 0х, F = VRr VR = F. (11)
Естественно, что тензор F, задаваемый в базисе актуальной конфигурации,
нечувствителен к замене отсчетного базиса. Компоненты Gsk повернутого
тензора G в базисе г^, равны компонентам Gsk тензора G в базисе
[(1.8.11)] и по (II.5.2) функция s(G) компонент G изотропна в подгруппе
Охсох ортогональных преобразований
a(G) = a(Gn, ..., G31) =-- э (G31, ..., Gbl)-a(G). (12)
Этим подтверждается сохранение группы равноправности материала-
необнаруживаемость, в какой из отсчетных конфигураций (ц или v) задана
мера G.
Во всем последующем рассматривается твердый упругий материал по
определениям гл. 3, §§ 6, 7.
106
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
§ 2. Уравнения состояния ортотропного и трансверсально-иготропного
материалов
Формы зависимости скалярной функции ср от ее аргументов, инвариантные для
некоторых подгрупп ортогональных преобразований, рассмотрены в I, § 5.
Основываясь на этих представлениях и отождествив здесь <р с удельной
потенциальной энергией деформации э, по (1.8) приходим к уравнениям
состояния. Ограничимся случаями ортотропного и трансверсалыю-изотроп-ного
материалов.
Для ортотропного материала по (II.5.10)
причем Gsk-компоненты G в ортонормированием базисе сг, с2, с3 осей
симметрии материала.
По определению производной скалярной функции по симметричному тензору
(II.2.8) имеем
Вектор места г в отсчетной конфигурации здесь определен декартовыми
координатами as в базисе q, с2, с3 представляющими здесь материальные
координаты частицы
dR
(1)
3 3
3
Теперь учитывая, что
оо оо
VRT-c,= R,c*-c,=-R" cftVR = Rft,
по (1.8) приходим к уравнению состояния
1
+ Tp-G23(R2R3 + R3R1)+-^G31(R3R1 + R1R3) . (3)
сю 2 з dG 31
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
107
причем с-ось трансверсальной изотропии. По (II.3.3) и (II.3.8),
(II.3.9) имеем
о
Здесь cs - контравариантные компоненты с в векторном базисе отсчетной
конфигурации.
В качестве материальных координат qs выбраны декартовы координаты с
базисом с1( с2, с3.
§ 3. Уравнения состояния упругого изотропного материала
Разнообразие имеющихся в литературе форм уравнений состояния объясняется
возможностью выбора различных мер деформации и использования отличающихся
друг от друга определений тензора напряжений.
Потенциальная энергия деформации представляется функцией инвариантов
(относительно полной ортогональной группы) выбранной меры деформации.
Отсчетной конфигурацией является неискаженное состояние; по (3.5.11)
напряженное состояние в ней представляется шаровым тензором, описывающим
равномерное во всех направлениях сжатие или растяжение; в частности оно
может отсутствовать, если отсчетная конфигурация - натуральная.
Преобразование подобия натуральной конфигурации приводит к новой
отсчетной неискаженной конфигурации, но уже не являющейся натуральной.
Далее э задается, как функция инвариантов меры деформации Коши -Грина
или, что то же самое, меры Фингера, определяемых формулами (1.5.8)
Эй
~дГ СС дМ (СС' ^ ^'СС) ^
дэ
и уравнение состояния (1.8) приводится к виду
д, U U д U U
+ -?c^R,Rft + |iC^(R,RA-F + F.RftR,) . (7)
9 = э(1АО), /а(G), /.(G)), MG) = /*(F). (1)
108 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ [ГЛ. 4
В другом представлении используются инварианты меры Альманзи g (или G'1)
a = 3(/1(g), /2(S). /3(g)), Mg) -MG'1). (2)
Они связаны с инвариантами Ik(G) формулами (1.5.8).
Потенциальная энергия деформации определена с точностью до аддитивной
постоянной и может быть принята равной нулю в отсчетной конфигурации
9 = 9{h( Е), /я (Е), I з (Е)) = э (3, 3, 1) = 0. (3)
Уравнение состояния изотропного упругого тела в форме Фингера следует из
(!), (1.8) и формул дифференцирования инвариантов (II.3.3)
Т = 2 ]/-§- (гр0Е + + tpaF*) = 2 )/F-^f . (4)
Здесь введены обозначения функций от инвариантов 1к (F)
. , дэ j дэ . дэ . дэ /г.
37п' ^~
Это представление следует предпочесть (3.5.9), так как выражение тензора
V через вектор места R весьма сложно. Напомним, что формула (3.5.8) была
