Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Первое слагаемое преобразуется к виду
V v v
Здесь Ж- кинетическая энергия частиц среды в рассматриваемом объеме
*=THIp"v'v<i"=Tnipv'"iV'=HHv'v'im- (11)
v V V
Второе слагаемое в (10), в соответствии с обозначением (1.13.10)
записываемое в виде
+ (12)
г г
определяет величину, называемую мощностью. Пришли к уравнению работы
Ц[Г = & + № (13)
- сумма материальной производной по времени кинетической энергии и
мощности равна работе внешних массовых и поверхностных сил за единицу
времени.
Представление мощности через тензор Пиола приводится к виду
= = УV°RT• Р• • \vTdV =
V г
7dv
V
и по (1.3.9)
¦*'=ШТ-'ВЛМИР''^,А'- ел
V v
Замечание. Вывод формулы (9). Тензор exp М по определению равен
ехрМ = Х -f = E+M + ^M2 + I-M3+.. .
k =0
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ РАБОТА
79
и представление его вариации имеет вид б exp М=6М + ^(М • 6М+6М • М) +
^(М2 • 6М+М • 6М • М+
k~\
+ бм-м2) + .. . =
Тензоры М и Q предполагаются симметричными и соосными. По правилам
свертывания получаем
Q--6expM-Q--(6M + M-6M+iM2-6M+...) =
Q-
6М+ ?>.вм
k = l
: Q • • (exp М) • 6М = Q • exp М • • 6М.
Возвращаясь к (8) и к представлению (1.6.10) меры Генки, имеем теперь
F-1 = ехр (-2Н), 6F = 6exp2H,
Т•.F_1-6F = Т-exp (-2Н)-ехр2Н- -б2Н = Т- -2бН,
что и требовалось.
Глава 3
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
§ 1. Простое тело
Уравнения движения сплошной среды определяют в заданных полях массовых
сил и скоростей дивергенцию тензора напряжений, но не напряженное
состояние ее. Все процессы (движения и равновесия) происходят в
соответствии с этими уравнениями; будучи необходимыми условиями
осуществимости процессов, они недостаточны для их полного описания,, так
как различные среды (материалы) по-разному реагируют на воздействие одной
и той же системы сил (кусок глины, стальной стержень). Единые для всех
сред общие теоремы механики - количеств движения, моментов количеств
движения, из которых выведены уравнения движения, должны быть дополнены
физическими закономерностями, определяющими поведение материалов
различных свойств. Ими формулируются уравнения состояния (называемые
также определяющими уравнениями) - соотношения связи тензора напряжений с
величинами, определяющими движение частиц среды, если ограничиться только
механической постановкой задачи (тепловые воздействия рассматриваются в
гл. 9). Эксперимент является решающим в установлении этих
закономерностей, но только "в конечном счете". Неизбежно умозрительное
рассмотрение с целью установить общие принципы построения уравнений
состояния и классификации материалов. Лишь исходя из математической
модели некоторого достаточно узкого класса материалов, можно извлечь
сведения о нем экспериментальным путем - "чем позже, тем лучше" (Синь-
орини).
Для уравнений состояния существенны понятия "теперь" и "раньше",
исключение времени обеднило бы их содержание. Статическое рассмотрение
следует отложить на более поздний этап.
Весьма общее описание напряженного состояния "здесь и теперь", иначе
говоря, в данный момент t в частице, отмеченной в отсчетной конфигурации
местом г (р1, р2, р3), состояло бы в задании тензора напряжений Т, как
функции г (р1, р2, р3), t и временного переменного
г^-t - s^Lt, 0^s<oo, (1)
§11
ПРОСТОЕ ТЕЛО
81
входящего в задание предыстории движения каждой частицы тела $
R (г (91, q2, q%)\ т) ¦ у '
Тензор напряжений Т (г (q1, q2, q3)\ t) представляется функционалом над
предысторией (2), функцией материальных координат q1, q2, <73 данной
частицы сЛ и, возможно, явно входящего времени t
<S
Т (R (г; t)) = сГ (R (г (ql, q\ q*); т); q\ q\ q=>; t) *
Внесение явной зависимости от t соответствует попытке учета изменяемости
свойств материала, обусловленной происходившими в нем тепловыми,
химическими и т. д. процессами (старение бетона, например). Это
достигалось бы более полно внесением, вместо t, величин, описывающих эти
процессы и их предисто-рии. Довольствуясь только механическими
постановками задач, мы исключим t из числа рассматриваемых аргументов.
В записи исходного определяющего уравнения (3) фактически можно считать
участвующей и температуру и, возможно, другие параметры состояния
(химического или иного происхождения). Однако во всем изложении главы
температура как параметр состояния не фигурирует. Это объясняется тем,
что существует широкий круг подлежащих изложению вопросов, не связанных с
термодинамикой. Именно эти вопросы (группы равноправности, понятие
твердого тела, типы анизотропии, понятие упругой жидкости и т. д.)
составляют рсновное содержание главы. Введение дополнительных параметров
только внесло бы в изложение лишние детали, тем более, что существует
обширный класс явлений, для описания которых не требуется введения
температуры. В частности, в отсутствие химических реакций приведенное
описание справедливо для изотермического либо адиабатического процесса
деформирования. Более общие задачи, исследование которых существенно
опирается на термодинамические соображения, рассматриваются в гл. 9.
