Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
во множество Н преобразований некоторой отсчетной о-конфигурации,
необнаруживаемых опытом, могут входить и ортогональные преобразования.
Для этих, представляющих наибольший интерес преобразований, соотношение
(4.6) может быть записано в виде
VVR: T = <r(vR)=<r (ot-Vr) (1)
о о
и при замене VR на VR-0
VVR: Т = сГ (VR.<)) = "?¦ (oT-VR-C>) . (2)
*) о-обозначение группы всех ортогональных преобразований.
94
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
Но, согласно принципу материальной индифферентности, записанному в форме
(3.18),
?Г (vR-o) = 0T-<r (vr)-O. (3)
Пришли к соотношению
VVR, Oczg: ?Г (oT-VR-C>)-От-<Г (vr)-O, (4)
определяющему ортогональное преобразование, принадлежащее группе
равноправности в некоторой отсчетной и-конфигурации.
Мы подошли к определению изотропного материала - "одной из великих идей
Коши" (Трусделл): материал изотропен, если существует отсчетная и-
конфигурация, для которой группа равноправности содержит полную
ортогональную группу о - уравнение (4) выполняется для всех
преобразований этой группы
VVR, VOczo: Ж (ог¦ VR• о) = От • <Г (vr) ¦ О. (5)
Такая и-конфигурация называется неискаженным состоянием материала. Любое
ортогональное преобразование оставляет неискаженное состояние
неискаженным. Уравнение (5) удовлетворяется в изотропном материале
тождественно для всех Ост о.
Тензор Н в (4.6) может быть любым ортогональным тензором. Приняв Н = Ох,
где 0х -ортогональный тензор, сопровождающий деформацию, можно переписать
(4.6) в виде
l(vR)i=#'(vR)=#'(oxr - Vr) = <#" (охт • 0х • v) = J7* (V) (6)
- здесь использовано определение правого тензора искажений (1.6.1).
о
Соотношением (6) доказывается допустимость замены VR на V в (5).
Получаем
VOczo: <F (0T V 0) = 0Т <Г (V)-0 (7)
и этим показано, что симметричная тензорная функция
Т Тт - (V) (8)
над симметричным тензором V удовлетворяет определению (II.7.1) изотропной
тензорной функции. Поэтому она представима по (11.7.7) квадратичным
трехчленом над V
(9)
§6]
ТВЕРДОЕ ТЕЛО
95
со скалярными коэффициентами - функциями инвариантов Ik (V) = = /* (и)
Xr = Xr(/i(V), /.(V), /,(V)) (Г = 0, 1, 2). (10)
В неискаженной отсчетной конфигурации
V = E, 11 (V) = /2 (V) = 3, /3 (V) = 1
и по (9)
Т = -/?Е, -/?.= Хо (3, 3, 1) + Xl(3, 3, 1) + х2(3, 3, 1) (11)
- напряженное состояние в неискаженной конфигурации может быть лишь полем
равномерного сжатия (р > 0) или растяжения (р < 0). При р = 0
неискаженное состояние называется натуральным (напряженное состояние
отсутствует).
Следует особо подчеркнуть, что тогда как уравнения состояния упругого
тела в формах (3.12), (3.15) сохраняют вид независимо от выбора отсчетной
конфигурации, представление (9) пригодно тогда и только тогда, когда
отсчетной конфигурацией служит неискаженное состояние материала.
В уравнении (8) исключены из рассмотрения сопровождающие деформацию
повороты и это полностью соответствует идее изотропии. Понятно и то, что
тензор напряжений Т выражается непосредственно через индифферентный
тензор V (его, конечно, можно заменить тензором Фингера F -V2),
естественно задаваемый, как и Т, в векторном базисе актуальной
конфигурации.
По (3.12) и (9)
Ф (U) - VrT ¦ (у0Е + Xl V + yv2 V2) • Vr
и по (3.16), (3.17) представлениям тензора Пиола и энергетического
тензора придается вид
Р= |/y(XoU-1 + XiE + X2U)-0XT,
Т" = XoU-2 + XiU-1 + Х3Е.
§ 6. Твердое тело
В твердом теле существуют преимущественные состояния; всякое изменение
формы (деформирование) из этих состояний влияет на поведение материала
при нагружении. На это поведение может влиять, но может и не влиять
поворот испытуемого образца. Этому качественному описанию соответствует
определение: простой материал тверд, если можно указать такую от-счетную
и-конфигурацию, что соответствующая ей группа равноправности g является
подгруппой ортогональной группы,
96
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
[ГЛ. 3
В противоположность (5.4) для этой конфигурации, называемой неискаженной,
ё^о. (1)
Термин "неискаженная конфигурация" здесь и в определении изотропии § 5
применен в различных значениях. В § 7 будет показано, что для изотропного
твердого тела эти определения равнозначны.
Простое твердое тело анизотропно, если его группа равноправности g
относительно неискаженного состояния представляет подгруппу ортогональной
группы. Тип анизотропии определяется заданием g. Элементы этой группы
удовлетворяют соотношению о
(5.4) для всех VR. Ему, очевидно, удовлетворяет группа {Е, -Е} из двух
элементов; это позволяет при задании анизотропии ограничиться
рассмотрением собственно ортогональных преобразований.
Можно придумать, разумеется, сколько угодно групп поворотов g, но только
двенадцать групп исчерпывают описание симметрий в реальных твердых телах.
Пусть v, v' - две неискаженных конфигурации, причем в обозначениях § 4
г' = г-О, r(-r,-0, s = r'r; = r*r,.0 = 0
и по правилу Нолла (4.16)
g' = 0-gO. (2)
Здесь g - группа равноправности неискаженного состояния (и-кон-
фигурация), g' - группа равноправности "'-конфигурации, также
