Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
- gMgrt^ + (grpgtq + gr"gf') IX- (3)
Тензор ТЕ сохраняет значение при перестановке индексов в каждой паре
(pq), (rt).
Переходим к определению тензора упругостей по представлению Фингера (3.4)
тензора напряжений Коши. По (1.10.2) конвективная производная Т
определяется сверткой
Т = TF • • F (4)
и теперь требуется к этому виду преобразовать выражение (5.2) тензора Т.
Выражение дивергенции вектора w можно представить в виде у F-1- F ==у F-
1- .(F-Vw + VwT-F) =
= у Е- • Vw + у F- F-1- • Vw - Е- -e(w) = V-w (5) и первое слагаемое в
(5.2) заменяется выражением - TV-w =¦ - yTF-1- F.
Далее по (1.15.4), (1.15.7) записываются формулы
(фхЕ + T>2F) • F = хр (фхЕ -}- ф2Р) • (Сп -у С1П) • • F,
, ¦ (6) F • F = Си • • F • F = у Сц • • [F • (Сп + Сш)]- • F.
Остается еще, обратившись к (II.3.3) и (5.5) записать формулы
Фг = (ФгД• • F = [HorF-1 + Ил'Е + H2rF]• • F = 2 brF^.-F. (7)
§7] ТЕНЗОР УПРУГОСТЕЙ .ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ Ц7
Получаем
t = { - у TF'1 + |/ [(^Е + ^F) ¦ (С" + С1Н) +
+ ^CIi--{F-(C"+CIII)H + 2 ]/-§- ? X, $дт Fr F'v_1} • • F. (8)
¦ Г=0Л' = 0 )
Тензор четвертого ранга в волнистых скобках по (4) и является тензором
упругостей. По (5.6) его развернутое представление имеет вид
Tf =-2"TF-1-f [(TiE + T2F) • (Сп + Сш) +
+ 'ФаСц• • {F• (Сп + Сш)}] + 2 }/f [V00EF-1 + $11FE + &"F>F +
+ fl01 (EE + FF-1) + T02 (EF + F2F_1) + $12 (FF + F2E)]. (9)
В отсчетной конфигурации, если она натуральна (Т = 0)
(Tf)o = (4i + 2ф2)° (Си + Сш) +
+ 2ЕЕ (Т00 + $и 4"$22 4-2401 + 2402 -ф 2412)°. (10)
После замены 4лт их значениями по (5.5) имеем
(^00 4" $11 4" $22 4" 2$01 4- 2$оа + 2412)° =
_ f у4о_ , дфГ . , п дфт_9 дг|з" \о
V д!3 "Г dli ^ dlt d/2 ^ a/j dl2 J ¦
Обратившись теперь к представлениям (3.5) коэффициентов фг через удельную
потенциальную энергию деформации э, можно это выражение записать в виде
118
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ.
Итак,
(Тг)° = (ф] +2ф2)° (Си + СШ) +
.(дтг^2 Wг+атг) ^o + 'k+'W
-2ЕЕ
(П)
Сравнение с (2), если учесть, что в линейном приближении
F = Е +2е (и),
позволяет выразить коэффициенты Ляме уравнения состояния линейно упругого
тела через коэффициенты 1+ и значения их производных в отсчетной
натуральной конфигурации. Учитывая еще, что по (3.22)
(Ф0 + Ф1 + Ф2)0 приходим к формулам
dh
^ = 2 (фу+ 2+,)° = 2 (ф2 - ф0)°
д , д
= 2
А,-4
<3/i 1 д 1 2
д . д
dl.
= -2
д1 о
= 0,
(а/2 + э/8 Н ' (12)
+-+2 дг2'+У77/ (г1,о+Ф1+ф2)_
д , f
( д
\ 3/2 dl
д \2 д!
Г-
Следствием (12) и (13) является также соотношение
Я + 2р - 4
д1г
dl, ' dl.
(13)
(14)
§ 8. Представление тензора упругостей в базисе собственных направлений
тензора напряжений
В (7.9) тензор напряжений, мера Фингера и мера Альманзи заменяются их
компонентными представлениями
T = ^R,Rft, F = gskRsRk, F-^g-g^R'R*. (1)
Компонентному представлению TF придается вид
Tf=t">"R,R,R,R" (2)
так что
%qpst = . . Тр . • (3)
1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТЕНЗОРА УПРУГОСТЕЙ НУ
, § 8J
По (7-9) получаем
x,Pst = -A t"pg"nGasGai + 2 V fl^G,J,/Gn1G'"'g'nn +
+ ^1g4PGu + + Ci (G^G't +gP4gmnG^Gsn) +
+c2 (GP"gst+g9ttgapGnrfiktGlsgki) + "12 (ёмё°*+ёчгпёрпСшпС*8У\+ + У |-
[i|!i(№i + G,'G''s) +
-j- aJ?2 (g^G^+g^G^ + g^G^ + g^G"*)]- (4)
Тензор упругостей сохраняет значение при перестановке индексов в каждой
паре (qp), (st). По (II.1.6) число его компонент равно 21. Это следует из
(7.9), (4), а также из определений производной (II.4.5) тензора по
тензору
TF = R^R^R* ^ = tJTR^R'R*.
Представление (4) доступно сравнительно простой интерпретации в
ортонормированном базисе собственных направлений е1( е2, е3 тензоров (1).
Их главные значения в этом базисе, напоминаем, равны о(r), v~2.
Имеем
(О, тфп, (0, тфп, 10, тфп, _
Qmn - Q =П Smn=l В 5)
mn \l, m - n, \v2m, m--n, mn \om\ m = n
и отличными от нуля оказываются: а) .три компоненты
rssss ________ 1 I ^
2 Vs
~~г Т CiC + й22С -h 2\3-01 -f-
. vs
+ 2й02о2 -j- 2012о| Т- гН -f- 2i];,0s
(6)
б) шесть компонент
xsskk __ A I ^
2 Vk V1V2V3
~~Г A ClC + &22ys Vk +
. vk
(7)
^SSkk-ф- r^kkss^
в) три компоненты
TSkSk .
Hi+^2 (С + С)]- Xshsk= Xksks = xkssk. (8)
Всего в рассматриваемом базисе имеется 12 различных компонент.
120
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
1ГЛ.
Эти соотношения можно значительно упростить и придать им отчетливое
содержание, основываясь на представлении (3.9) главных напряжений сг^
через главные значения iff меры деформации Фингера (или Коши - Грина).
Сославшись на формулы (3.15), (5.5), получаем
и эти выражения воспроизводят соотношения (6) и (7). Н^ак,
Эти компоненты тензора упругостей можно назвать касательными модулями
продольного и поперечного растяжения, так как
¦Щ--тангенс угла касательной кривой сг. (vf, v\, ojj) на плоско-
dvk
сти (v%, eg.
Формулу (8), имея в виду (3.9), легко представить в виде
и эту величину следует интерпретировать в терминах "главных напряжений
сдвига" и "главных деформаций сдвига".
§ 9. Тензор упругостей
По (1.4) тензор упругостей Р0 представляется второй про-
VR
изводной удельной потенциальной энергии деформации по градиенту места
