Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы.
Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при
выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов
определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем,
коэффициентов "фг(/1" h, /3) в (4.3.4)). Значит и формы представления
поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря,
их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят
закон зависимости удельной потенциальной энергии з (/j, /2, /3) от ее
аргументов.
Формулы для поверхностных сил различны для различных материалов; для
одних уравнения статики в объеме выполняются
136
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ'НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
|ДЛ. 1
по исходному заданию меры деформации, для других потребуется другое ее
задание.
Но не исключено, что эти затруднения могут и отсутствовать.
"Универсальными" называются такие деформации, задание которых
обеспечивает в описанной процедуре вычисления выполнение уравнений
статики при любом материале, т. е. независимо от конкретного задания
э(11,12,13) или, что то же самое, Фг(/[, /2, /3)- Тогда и формулы,
определяющие поверхностные силы, обеспечивающие реализацию такой
"универсальной" деформации, окажутся представленными только через э. Они
универсальны в том смысле, что по ним производится расчет сил для любого
материала. Конечно, численные величины этих сил будут различны для
различных материалов. Универсальным назовем и решение R(q\q2,q2)
уравнений теории упругости, определяемое по универсальной деформации.
Напомним, что в этих определениях предполагалось отсутствие массовых сил.
§ 15. Универсальное решение уравнений нелинейной теории упругости.
Теорема Эриксена
Совершенно очевидно, что универсальным является решение, определяющее
аффинное преобразование отсчетной конфигурации в актуальную
R -¦= г • А,- xs = akAks, (1)
где А-постоянный тензор, detA=^0. Меры деформации также постоянны
VR = A, VRг - Ar, G^A-AK F = А1' - А, (2)
значит и их инварианты, в том числе /3 = (det А)2. Тензор напряжений Т по
(4.3.4) представляется квадратичным трехчленом с постоянными
коэффициентами
0Lp-i-(j>L+i f --
T = 2(detA)-[/^E-|-^ + /1^jF-^Pj. (3)
При отсутствии массовых сил уравнение статики в объеме V-T = О
удовлетворяется, а уравнение статики на поверхности дает распределение
поверхностных сил
f - N Г = 2 (del Л)-> [/.3jN + (?.i./,&)N.F-?N.F*] .
(4)
ос\щеетвляющих рассматриваемое преобразование.
Теорема Эриксена (J. L. Erickson, i955) утверждает, что универсальных
решений задачи о равновесии изотропного упругого
$15] УНИВЕРСАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ. ТЕОРЕМА ЭРИКСЕНА 13';
тела, отличных от реализуемых при аффинном преобразовании (I), не
существует. Приводимое далее доказательство принадлежит Шилду (R. Т.
Shield, 1971).
Сначала устанавливаются два вспомогательных предложения: а) при 3(7], /2,
- уравнение статики удовлетворяется, если
R - гармонический вектор. Действительно, по (II.3.5)
Р = .90 (/1)0 2VR, V-P^2\-VR = V2R = 0, (5)
VR VR
б) Пусть теперь з(/,, /2,-/3) /3- уравнения статики удовлет-
воряются при /3 -const. Обратившись к (1.9.1), (1.9.4), имеем
(Кд)о -VTB\r\ V-VТуг =--(), (/s)0 ~-2VT3(VT3)0 (С)
VR VR VR
и поэтому (используя правило V-cpQ=cpV'-Q-[-QT - Vcp)
р 3 о - (^s)o '
VR VR
\-p=2vyr3(Vrs)Q =
VR
= 2УТв\УТ3\г'+2УТ3\г.\УГ3^2уТ3\УТ3--=\13 = 0, (7)
откуда и следует, что /3 - const (градиент этого скаляра равен нулю).
Пусть теперь з=фл/3э(/1, /2, /3) и вычисляемые по з и з
тензоры напряжений удовлетворяют уравнению статики. Имеем
Р = э0 = ]//3з0 +(К/3) о 3> vp = l/^3V'3o +5Т0 -УК/3 +
VR VR VR V R VR
+3v.(j/t;)0 +уту0 Лэ~.
VR VR
Первое слагаемое равно нулю по условию, второе по (7), третье по (6).
Приходим к уравнению
V-P=l/73 Vr.V3=l/73 V3 = 0, 3=^const. (8)
Значит и все инварианты Ik постоянны. Поэтому
VVj-O. (9)
138
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
Вместе с тем
0 0 0 0 х л / д k \ 2
G = VR-VRT, MG) = VR--VRr = L L (?г ,
s =1 /г = 1 V '
s = 1 k = 1
r=lS=1 k=\
Но первое слагаемое равно нулю по (5). Получаем
Итак, хк - линейные функции as, преобразование отсчетной конфигурации в
актуальную аффинно, что и требовалось.
I Конечно, линейное преобразование остается универсальным решением и в
случае несжимаемой среды (/3 = 1), но теорема Эриксена в вышеприведенной
формулировке в этом случае не имеет места; оказывается, что линейное
преобразование - не единственное универсальное решение (см. гл. 7, §§ 8,
9).
§ 16. Принцип стационарности потенциальной энергии
Здесь и в § 17, § 18 формулируются вариационные принципы нелинейной
теории упругости. Доказывается, что уравнения равновесия и краевые
условия на поверхности О тела в его актуальной конфигурации могут быть
получены, как следствие этих формулировок. Вместе с тем ими
подсказываются возможности применения прямых методов типа Ритца, Бубнова
- Галер-кина и их видоизменения, предложенного J1. В. Канторовичем, к
