Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Использовав представление градиента места (1.3.11) и производной тензора
по тензорному аргументу (II.4.4), приходим
(9)
(1)
§ g] ТЕНЗОР УПРУГОСТЕЙ 121
к компонентному представлению
Р = Эо =ГИГ"^-, Р0 , (2)
VR VR dypJ9dVmtn
а в декартовом базисе
po - uv g/* Sxn- • (3)
°~даР da"
Другие представления следуют из правил вычисления производной
произведения тензоров и замены аргумента при дифференцировании по тензору
(II.4.10), (II.4.12)
Р= 2эо • VR, Р0 = 2эо-0,п + 2(-'-!э0--rsrt |.VRrV =
VR \3vR J
= P-Vr-C" + 2 {[aGG • -(Сц + Сщ)-Vr] - -г,г,} ¦ VRrV
- были использованы также правила (II.4.13), табличка (1.15.3), формула
(1.9.6). Приходим к соотношению, не предполагающему изотропии среды
Р0 =P-Vr.Cn-f2[3GG--(r^+r^)].VRr%. (4)
VR
Для изотропного упругого тела
э0 = ф0Е + <PjG + cp2G2, (5)
причем фГ определяются формулами (3.19). Повторив ход вычисления в § 7,
имеем
2 2
3gg = X UrG^G1, + -j (фхЕ -f ф20) • (Сц+Сщ) +
N = 0 Г=0
+ "2*cP2^h'' (^п+^ш)}" (9)
причем коэффициенты ?д,г выражаются через фг формулами (3.19),
определяющими фг через э
122
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
После подстановки (6) в (4) получаем
0 2 2 0
0
Р0 =p.Vr-C" + 4VR. J] 2?*rF"VR.Fr +
+ 2 (ф]Е + cp2G)- [с"- • {VR--(Си +СШ)}] • VR +
ГО "10
+ 2cr2Cu--[vRT-G-(Cu + Cm)]-VR (8)
- оказалось возможным подобно (7.9) представить Р0 в несо-
VR
держащей базисных векторов (инвариантной) форме.
В натуральной отсчетной конфигурации, повторив вычисление § 7, получаем
повторяющим (4.7.12), (4.7.13).
Формулу, выражающую Р0 через TF, можно получить, обра-
VR
тившись снова к правилам (II.4.10), (II.4.12)
Обратившись к формулам гл. 1, § 9, приходим к выражению
Р" =4Ее[(1А- + 2-|г+^-)(ф" + ,р, + ф,)]1
V R
и сравнение с (4.7.2) приводит к соотношениям
(10)
VR
приводимому также к виду
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ
123
§ 10. Уравнения движения и равновесия изотропного упругого тела
Здесь рассматриваются аналоги уравнений линейной теории упругости в
"перемещениях", получаемых после замены тензора напряжений его
представлением через линейный тензор деформации, а последнего -выражением
через вектор перемещения. В нелинейной теории дело осложняется
возможностями определения напряженного состояния несколькими тензорами
(Коши, Пиола) и множественностью их представлений через меры деформации
(Коши - Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Вектор перемещения
предпочтительно заменить вектором места в актуальной конфигурации.
Дивергенция тензора Пиола представляется выражением (1.19.23)
О 0 0
V.p = r*.po • • VRT-AT-rft, (1)
VR
преобразуемым по (1.19.13) к виду
V-P = r*.p0 •-rft-VVRT = rft-P0 -~VRT. (2)
VR VR дЯ1
Заменив теперь градиент места его координатным представлением, придем к
трем уравнениям движения
V*-'Ро • -fP"A, = PoV (3)
VR
линейным относительно вторых производных компонент в отсчет-ном базисе
вектора места актуальной конфигурации. Эта система, разумеется, имеет
очень сложную структуру: первые ковариант-ные производные у/ в нее входят
нелинейно, как через тензор упругостей Р0 , так и в развернутых записях
вторых ковариант-VR
ных производных.
Заменив в (3) тензор упругостей его представлением (9.2), придем к
уравнениям движения анизотропной упругой среды
о - 9 9о-ВД^ + Р,Л = РсА, (9-1. 2, 3). (4)
dVk %sdVi 1Ч
Заменим теперь в (1) тензор упругостей Р0 его представле-
VR
Нием (9.11) через Tf. Слагаемые, содержащие Р, при этом
124 ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 1
выпадают. Действительно, сославшись на (1.19.17), получаем
г к. pVrT • • VRT • Ат • rft = Рг • r*VrT • • VRT • =
= Pr-rkAqqk-= Рт-V 1п ]/~ ,
О О
vk. г^г*. pr^. VrT • • VRT • Ат • rk ~ Рг • • vqrsAqst =
= PT-rM?s = PT-Vln у ~ ,
что и требуется. Теперь, используя также (1.19.12), (1.19.13) н (9.11),
имеем
г*-Р0 • • VRT-AT-rfe -- |/ G Rft.ip.^R^ + r^r^-.R^M^-
VR g
= У -|R*-TF-.(vRr-r*Rm + Rmr"-VR) А(tm)* =
= У- R*-Tr -/vrt^ + ^-- vrY
У 8 \ dqk dqk J
Уравнению движения изотропного упругого тела теперь придается вид
R*-TV-~¦+ pk = pb. (5)
dqk
К этому же уравнению можно было прийти, основываясь на уравнениях
движения, составляемых по тензору Коши Т. Действительно, по (1.19.19),
(1.19.12) и (1.9.8)
V-T=R*.|T = R*.^..V-AT|r^
= Rk-TF • -Сп• • Fg -R"гМ"*-
VR
/ о о \ д?
= r*-tf-4r^-vr + vr^rJ ^ = r*-tf---
как и требуется.
Заменив теперь тензор упругостей компонентным представлением
TF=T?rRftR"R'R* (6)
3F
и используя только что приведенное представление - , получим
dqk
уравнение движения в компонентной записи
bkst"gqtAsqk-\-pkn=pbn (м= 1,2,3). (7)
§10]
Уравнения движения и равновесия
125
Выражение через вектор перемещения можно получить, выполнив
преобразования
о
R* = rft + RtV*U', |jr= {/ }rf + RtV9V^,
позволяющие представить Asqk в виде
ООО
¦"* -\фГ\ф) - Rs w-- { ф I=-{*',} v<"'-
После подстановки в (7) приходим к уравнениям
(т*Г+т?Г)^'
\Vrus
\kq)
(8)
Еще одну форму уравнений движения изотропной упругой среды получим,
заменив в них тензор напряжений Коши представлением (3.4) через меру
