Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
заданию его или вектора перемещения u = R -г на поверхности О в этой
конфигурации
на О: R = R(<y, q2, q3) = r(q\ q\ q*) + u(q\ q\ q3). (1)
Искомое решение должно удовлетворять уравнениям равновесия в одном из
перечисленных в § 10 видов (при Ь=--0).
Сложнее формулировка второй краевой задачи. Бесперспективно было бы
требование удовлетворить уравнениям статики на поверхности О, не
ограничивая класса рассматриваемых поверхностных нагружений - наперед
неизвестна не только эта поверхность, но и какие направления примут
заданные на ней силы. Поэтому ограничиваются рассмотрениями "мертвого" и
"следящего" нагружений.
При мертвом нагружении по (2.1.12) и (1.8.7)
на О: N-T = f = f°-^= У^ f°(n-G-1-n)-,/s; На о: n-P = f°, (2)
5*
132
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 4
причем поверхностная сила f° задана на поверхности о тела в отсчетной
конфигурации. Решение должно удовлетворять уравнениям равновесия в объеме
V актуальной конфигурации, следовательно, требованиям равенства нулю
главного вектора и главного момента внешних сил
JJjpkd7+SJfdO = 0, JSjRxpkdP+JJ RxfdO = 0. (3)
VO V о
Равновесной должна быть и отсчетная конфигурация
p0k (iy-f ^ f°r/o---0, rxp0kdu-f ^rxf°do=0. (4)
V VO
Первое условие (3) немедленно преобразуется в первое условие (4)-это
следует из закона сохранения массы pdV = p0dv и определения (2)
"мертвого" нагружения. Иначе говоря, обращение в нуль главного вектора
внешних сил в отсчетной конфигурации гарантирует равенство его нулю в
актуальной конфигурации. Того же нельзя сказать о главном ^моменте
внешних сил. Он будет в актуальной конфигурации нулем при выполнении
условия совместимости (Синьорини)
И S (R - r) X р0к ни+ ^ (R -r)xf° do=0 или
V О
Rxpokdt> + S$ Rxf°do = 0, (5)
V О
непосредственно следующего из (3) и (4).
По заданию внешних сил вектор места R в актуальной конфигурации, как и в
линейной теории, определяется с точностью до жесткого перемещения [см.
(1.4.22)]. Этот произвол можно использовать, чтобы удовлетворить условию
(5) в предположении, что силовой тензор (2.1.16)-неособенный; это
доказывалось в гл. 3, § 3. Осложнение может возникнуть, если силовой
тензор В -особенный (delB = 0). Об этом см. гл. 6, § 11.
Реальным примером следящего нагружения служит остающееся направленным по
нормали к деформированной поверхности тела гидростатическое давление.
Уравнение равновесия на поверхности в этом предположении записывается в
виде
на О: -pN = N-T; на о: - |/ - pnVrT = nP. (6)
Ошибочно было бы ожидать единственности решения краевых задач нелинейной
теории упругости. Об этом свидетельствуют простые примеры.
Пусть внутренняя поверхность полого цилиндра закреплена неподвижно, а
наружной с помощью цилиндрической обоймы, в
ПРИЕМЫ РАССМОТРЕНИЯ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ
133
которую она заключена, сообщен поворот в первом опыте на угол (['", во
втором -на ф0-)-2я. Напряженные состояния в этих опытах резко различны,
тогда как записи краевых условий (1) в них неразличимы - точкам наружной
поверхности приписан один и тот же вектор места R.
Неединственность решения второй краевой задачи иллюстрируется примером
"выворачивания наизнанку" полусферического купола, когда наружная й
внутренняя его поверхности в отсчетной конфигурации становится внутренней
и наружной в актуальной; внешние силы отсутствуют в той и другой
конфигурациях, но в актуальной конфигурации возникает напряженное
состояние, хотя отсчетная могла быть и натуральной. Аналогична задача о
выворачивании наизнанку полого цилиндра [см. гл. 7, § 12].
К верхнему и нижнему 0Х и 02 торцам призматического стержня приложены
параллельные его образующим "мертвые" силы, направленные на 0Х Еверх, на
02 -вниз - стержень растянут. Во втором мысленном опыте образец повернут
на 180°, торец Ох становится нижним, 0.г - верхним, но силы сохраняют
направления, так как они "мертвые". Образец сжат. Это - пример
неединственности решения второй краевой задачи при "мертвом"
поверхностном нагружении. Здесь, конечно, не идет речь об образце в
нагрузочном устройстве; создаваемое устройством нагружение не "мертвое":
оно сохраняет направление независимо от ориентированного образца,
последний или сжат, или растянут.
§ 14. Приемы рассмотрения задач о равновесии
нелинейно упругого тела
"Лобовая атака" краевых задач, нелинейной теории упругости,
описанных в § 13, как ппавило, безнадежна. Для малых, но
о о
конечных значений градиента вектора перемещения Vu-VR - Е из натуральной
отсчетной конфигурации возможно построение
решений второй краевой задачи в рядах по степеням |Vu|, когда исходным
приближением служит решение линейной теории. Процедура построения этих
рядов разработана Синьорпни (1940), а исследование их сходимости н
единственности (при некоторых ограничительных предположениях)
представляемого ими решения проведено Стопелли (Stopelli, 1954) и ван
Бюреном (W. van Buren, 1968). На каждом этапе процесса требуется
разыскание решения уравнений линейной теории при "массовых и
