Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
поверхностных силах", определяемых по предшествующим приближениям,
которые считаются известными. На всех этапах приближений главный вектор
этих "сил" оказывается нулем, затруднения возникают при рассмотрении
"условия совместности" (13.5),
134
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ 1ГЛ. 4
поскольку не исключено, что "силовой" тензор В может оказаться особенным.
Эффективное определение слагаемых уже второй степени по Vu, "эффектов
второго порядка", достаточно сложно, попытка идти дальше приводит к
труднообозримым выражениям "сил" в правых частях линейных уравнений.
Следует вспомнить, что для пространственных задач линейной теории
упругости (исключая случаи полупространства и шара) неизвестен способ
эффективного представления решения второй краевой задачи при произвольном
задании массовых и поверхностных сил. Это исключает возможность
разыскания напряженного состояния уже для эффектов второго порядка,
определимы лишь некоторые его интегральные характеристики. Доступнее
плоские задачи, так как применимость приемов решения задачи линейной
теории упругости методами теории функций комплексного переменного не
ограничена спецификой задания массовых и поверхностных сил для обширного
класса областей. Это позволило получить решения нелинейных задач не
только для эффектов второго порядка, но довести их для ряда примеров до
величин четвертого порядка (в многочисленных работах Ю. И. Койфмана и
др.). Здесь же следует отметить исследование в рамках нелинейной плоской
задачи поведения материала в окрестности конца прямолинейной трещины (J.
К- Knowles, Е. Sternberg, 1975).
Накопление опыта решения нелинейных задач при больших деформациях обязано
применению "полуобратного метода" - метода, которым были достигнуты
первые выдающиеся успехи и в линейной теории. На первом этапе процесса
задаются предполагаемой формой осуществляемого преобразования R (г (q1,
q'\ q3)) отсчетной неискаженной конфигурации в актуальную, содержащей
подлежащие определению функции материальных координат, на втором -по
этому заданию составляется выражение меры деформации, а по ней (из
уравнения состояния материала) тензор напряжений (Коши Т или Пиола Р).
Третий этап - по уравнениям равновесия в объеме и на поверхности находят
распределения массовых и поверхностных сил, допускаемые предположенным
заданием вектора места R. Требуется, чтобы так определяемые массовые силы
соответствовали их заданиям, например, были постоянны (сила веса) или
пропорциональны расстоянию от некоторой оси (центробежная сила). Чаще
всего принимают к = 0, наперед предполагая, что напряженное состояние
создается поверхностными силами, а влияние массовых несущественно.
о
Тогда выбор R подчинен условию V-T = 0 (или VP = 0). Остается потребовать
от "произволов" в представлении R, созданных внесением в него пока
неопределенных величин (функций материальных координат, постоянных
параметров), чтобы определенные
ПРИЕМЫ РАССМОТРЕНИЯ ЗАДАЧ О РАВНОВЕСИИ
135
в этой процедуре поверхностные силы соответствовали условиям задачи.
Успех этого последнего шага, конечно, связан с назначением вектора места
R, согласуемым с интуитивно предвидений...га свойствами напряженного
состояния, с его симметриями и т. д. Можно ожидать часто удачи в
определении сил не на всей поверхности О в актуальной конфигурации, а на
значительной его части; на остающейся части тогда довольствуются
требованием равенства главного вектора и главного момента получаемых
распределений поверхностных сил их известным значениям. Пример - боковая
поверхность призматического достаточно длинного тела, на которой
поверхностные силы имеют заданное распределение, и его торцы; на них
добиваются выполнения указанных интегральных условий. Классическим
примером такого построения может служить теория кручения.
В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант
полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически
возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и
на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это
состояние согласуется с уравнениями Бельтрами - Мичелла; этим
гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому
тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и.
Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что
обращение уравнения состояния - разыскание меры деформации по тензору
напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо
(II, § 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами-Мичелла в нелинейной
теории может быть использован лишь в исключительных случаях (§ 17).
Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить
исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в
нуль тензора Риччи (111.10.21). По этой мере и по уравнению состояния
составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным: его
дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по
