Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
- должен быть отличен от нуля детерминант ковариантных компонент Q (его
знак по (1.5.1) не отличается от знака detQ).
Предпочтительно заменить вектор нормали п к поверхности в отсчетной
конфигурации вектором N - в актуальной. По (1.8.8)
n VrT = (n G-1-n),/2 N, VRr-n-= (n-G_1-n)'/2 F-N. (12)
Отбросив несущественную для знака Q положительную квадратичную форму j/73
(п• G-1 • п)'бц придем к представлению в актуальной конфигурации
Q = N • (Tf + Tf • -С,,) • F • N. (13)
Заменив в (13) Tf его выражением (7.9), придем к развернутому
представлению тензора Q
а = (Чо-у 4'o)nN+HuN • FF . N+aMN • F2F2- N +
+d01(NF-N hNN-FN)-bH02(N-F2N + NF2-N) +
+ {112(N-FF2-N +N•F2F•N) +
-Ьy (tiE + t,F) N-F-N + y^(N-FF-N+EN-F2F-N). (14)
§121 АКУСТИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР УПРУГОЙ СРЕДЫ 129
Тензор Q, как видно из этого представления, симметричен. Его собственные
числа пропорциональны квадратам скоростей распространения в
предварительно напряженной упругой среде плоских волн в направлении N
(когда преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно). Это
дает основание назвать Q акустическим тензором [см. гл. 8, § 7]. Скорости
вещественны, если система - сильно эллиптическая.
§ 12. Акустический тензор упругой среды
Для линейно упругой среды по (7.2), (7.11) - (7.13)
(Тг)°- |[р(Сп + Сш) + ХЕЕ]==|те, (TF + TF • • С,,)0 - Те
и F = E в формуле (11.13). Представление акустического тензора приводится
к виду
Q = N • Те • N -= (к + р) N N + PEN • N = (к + 2ц) N N [- р (t^ + tgta),
(1)
так как
N • Сп • N ¦= NsRtRsNf -= NN, N-Сш • N = NSENS = EN • N,
а единичный тензор Е представйм в ортонормированном триэдре N, tj, t2
выражением
Е - NN + tjtj -f- t2t2.
Матрица тензора Q диагональна и ее детерминант равен
detQ = р2 (Я,-|-2р). (2)
Уравнения равновесия линейной теории эллиптичны при условиях
|х О, + 2р Ф 0. (3)
Они строго эллиптичны при соблюдении критериев Сильвестра, сводящихся в
этом случае к неравенствам
Р > 0, А + 2р^=2р^?^ > 0 -> - оо < v < ~ . (4)
Собственные числа тензора Q равны &1 = Я, + 2р, k2 = k., ^=р и условиями
строгой эллиптичности (4) гарантируется существование волн растяжения и
волн сдвига (со скоростями У (к f2p)/p, Кр/р) в линейно упругой среде.
Известно, что необходимыми и достаточными условиями положительности
удельной потенциальной энергии деформации линейно упругого тела являются
неравенства
!*;> 0, зь+гр-гр^х) - -1 <v<|. (б)
5 А. И. Лурье
130
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ
[ГЛ. 4
Выполнение этих требований гарантирует сильную эллиптичность, обратное
утверждение не имеет места; например, при К <-2р/3, 3^ + 2р<0, но А,-(-
2р>0.
Рассмотрение нелинейно упругой среды, разумеется, значительно сложнее.
Представив тензор упругостей его компонентным выражением (8.2), имеем по
(11.13)
Q = NSNqVq (тstPQ -f- xstw) tttp, Q*P = NSNqv2q (-xstPQ + тbt4P).
(7)
причем учтено правило переставимости индексов (8.8). Обратившись к (8.9),
(8.10), приходим к выражениям
и несложно проверить, что Q12 = QSl - акустический тензор симметричен.
Действительно, по (3.12), (3.16)
Конечно, остальные компоненты Q получаются круговой перестановкой
индексов в (9) и (10).
Структура det Q, как видно из полученных выражений компонент Qmn,
достаточно сложна и получить из его рассмотрения отчетливые суждения о
сильно эллиптическом материале вряд ли возможно.
Ограничимся рассмотрением случая вектора нормали, направленного по одной
из главных осей меры Фингера. Пусть, например, N^=ex, А7х = 1, N2^Ng ^0.
Тензор Q становится диаго-
AS V1 I 1
и в базисе собственных направлений меры Фингера
Q = NsNkg^ (%'tpq -f тstl>P) RtR
(6)
В формирование этих величин из 12 компонент тензора упругих модулей
войдет только 4 различных
q-nix х1122 Т1212 х1313
^1122 X1212 X1313
(8)
(9)
(10)
2 dv2 v3 dv2dvx
и как требуется
Q*-Q* = N1Nt
v i3(Ti 1 д2э
да" 1 д2э
i> ------
1 1 ov1 v3 avxdvi 2
О ПОСТАНОВКЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ РЛВНОЕЕСИЯ
131
нальным
Qu=°i%T. Q22 =- v! , Q(tm)-=vi-§=%. (11)
(J°1 V2-Vi V3-Vl
Условия Сильвестра, выражающие сильную эллиптичность, приводятся к
требованиям
|^>0, ^Р%>0, ^=Ц>0. (12)
0V1 Vl -V2 Vl- v3
Повторив это рассуждение, во-первых, приходим к требованиям монотонного
возрастания главных напряжений вместе с соответствующей главной
деформацией
^>0, s= 1,2,3. (13)
Во-вторых, к равенствам знаков разностей главных напряжений и главных
деформаций - "53<?-критериям" (Бейкера-Эриксена)
sgn(cr*-oft) = sgn (vs - vk)\ s, 6=1,2, 3, s=?k. (14)
Как говорилось в § 11, понятие о сильной эллиптичности согласуется с
представлениями о том, как "должен себя вести материал". Более подробные
сведения могут быть Гюлучены при рассмотрении конкретных материалов по
явному заданию э(/х, /2, /3).
§ 13. О постановке краевых задач равновесия
Предполагается известной неискаженная отсчетная "-конфигурация. Первая
краевая задача, как и в линейной теории, состоит в разыскании актуальной
^-конфигурации - вектора места q3) любой частицы тела (q1, q2, qs) по
