Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Еще более упрощая задачу, примем, что среда однородна, "материально
однообразна"*). Это значит, что уравнение состояния одинаково
формулируется для всех частиц тела при таком условии в (3) не войдут и
аргументы места частицы q1, q2, q3 в SB.
При этих упрощающих предположениях
__________"а (4)
Т (R (г; г))=<Г (R(r (q\ q\ q3)\ т)).
*) He останавливаемся на различении этих двух понятий: однородность
(homogeneity) и материальное однообразие (material uniformity).
82 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. 3
Представление определяющего уравнения в этой форме основано на
соображении причинности -"материал не знает будущего, но сохраняет память
о проллом".
Конечно, соотношение (3) него упрощенная форма (4) -только отправные
пункты для дальнейшей конкретизации. Следующий шаг - принцип "соседства",
близкодействия, локальности: напряженное состояние в месте г(дг, q2, q3)
определяется действием на частицу а? в нем лишь расположенных в ее
окрестности частиц
|г (q\ q\ q3)~r(q\ q\ q3)l < e, (5)
где e достаточно мало. Вместо (4) приходим к записи
V*
Т (R (г; t))=<F (R (г (q1, q%, q3); т)) , (6)
обозначением off указывается на соседство оМ с частицами, оказывающими
воздействие на напряженное состояние в о$. Аргумент функционала в (6)
представляется в виде
______off______ о
R (г (q1', q2', q3)', t) = R {r{ql,q2, q3)\x)+AR=dr • VR (r {q\ q\ q3)]
x) +
-f у dr-VVR (r (q1, q\ q3)\ x)-dr+ ... (7)
Тензор напряжений T "здесь и теперь" представлен функционалом над
историей движения, ее первого, второго и т. д. градиентов
Т (R (г; t)) = <#" (R (г; т), VR (г; т), VVR (г; т), . . .). (8)
Но было бы лишено смысла удержание аргумента R(r;x), так как частица
материала реагирует на соседние частицы независимо от ее расположения в
среде. Соотношение (8) сменяется записью
Т (R (г; t))=<F (VR (г; т), VVR (г; т),...). (9)
Высший порядок включаемого в функционал градиента определяет "порядок
материала". Во всем последующем мы ограничимся материалами первого
порядка-"простыми телами"
Т (R (г; t)) (VR (г; т)). (10)
В их число входят не только классические материалы -упругое тело, вязкая
жидкость, но и более широкие классы. Рассмотрению "непростых" тел нет
места в этой книге по теории упругости. Принятое ранее ограничение
неполярными средами, по-видимому, предполагает и отказ от рассмотрения
материалов второго порядка.
§ а] ПРИНЦИП МАТЕРИАЛЬНОЙ ИНДИФФЕРЕНТНОСТИ 83
§ 2. Принцип материальной индифферентности
Следуя определению индифферентной величины гл. 1, § 15, примем, что
индифферентен вектор силы tw на площадке, ориентируемой вектором N dO.
Индифферентность N легко проверить, основываясь на формулах (1.8.8),
(1.15.13), (1.15.12)
N'= (n G_1' n)_12 • Vr' • n = (n-G_1 • n)_1/2 ot-Vr n = 0T• N = N O.
(1)
Поэтому
t'N. N'-T' = N ОТ' = t v 0, tjv= N О T' 0T = N-T
и этим доказывается индифферентность тензора напряжений Коши Т, так как
вектор N можно выбрать произвольно
Т' (г; ^) = Or-T(r; /)-0. (2)
Соответствующее утверждение для тензора Пиола выражается равенством
Р' (г; /) - ]/ |/|VrrOOTTO = P(r; t)-0. (3)
Свойство материала, описываемое функционалом (1.10), не
может зависеть от векторного базиса-функционал еГ над аргу-
о
ментом VR' в штрихованном базисе полностью сохраняет форму
о
своей зависимости от VR в нештрихованном
Т = (r)Г (VR' (г; т)), Т = (VR (г; т)). (4)
Такова формулировка принципа материальной индифферентности.
Поясним это простейшим примером. В исходном базисе (неподвижной комнате)
измеряется удлинение пружины, нагруженной подвешенной к ее концу гирей.
"Штрихованный" наблюдатель в вертикально движущемся лифте обнаружит
другое удлинение при той же гире, но скажет, что свойства пружины
остались неизменными, а изменение ее удлинения свидетельствует об
ускорении лифта, подсчитываемом по этому изменению. Точно так же, зная
удлинение вертикально подвешенной пружины, можно по его изменению
вычислить угловую скорость горизонтального вращающегося стола, на оси
вращения которого закреплен конец этой же пружины с той же гирей на
другом конце. В дифференциальном уравнении движения сохраняются
неизменными свойства материала пружины, задаваемые модулем Юнга и
плотностью.
84 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ [ГЛ. 3
Следствием (1.15.11), (2) и (4) является соотношение
(VR' (г; т)) = <Г (VR (г; т)-0 (т)) =От (/) & (VR (г; т)) -О (t). (5)
Воспользовавшись теперь полярным представлением градиента места (1.6.1)
VR (г, т) = U (г; т).Ох (т), (6)
в котором 0х - ортогональный тензор, сопровождающий деформацию, приходим
к равенству
(U (г; т)-0х (T).O(T)) = OT(0-^(VR(r, т))-0 (t), (7)
выполняющемуся для всех ортогональных тензоров О. Это позволяет принять
для всех t
0(t) = 0XT(t), 0r(t) = 0><(t) (8)
и преобразовать (7) к виду
Т (г; R(r, т)) =0Хт (t)'?T (U (г; т)).Ох(*). (9)
Этим доказывается фундаментальное свойство простых материалов- их
поведение определяется только предысторией тензора искажений U,
предыстория поворотов не оказывает влияния на тензор Т (г; t) "теперь".
