Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 21

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 158 >> Следующая

Т = iskRsRk -= t%R,R* = (9)
В § 3 доказывается симметричность тензора напряжений
Т = ТТ, tsk = ths, *%=# = *!, N-T = T-N. (Ю)
Нормальное напряжение на площадке NdO, обозначаемое ctn, равно
(Tn - ^n • N - N -Т - N = tskNSNk (11)
- это квадратичная форма компонент N. Слагаемое tN в касательной
плоскости к площадке, определяющее вектор касательного напряжения tn на
этой площадке, равно
тn = tn - Nсгn N X (tN X N) = N-T-(E - NN). (12)
Квадрат модуля tN представляется квадратичной формой
tN-tN = N-T-T-N = N • Т2 • N, (13)
а квадрат полного касательного напряжения выражением
tn-Tn = tN-tN- on = N-T2-N-N-T-NN-T-N^
- N-T- (E - NN)-T-N. (14)
Представление тензора напряжений через его главные значения ("главные
напряжения") os и главные направления е^ = е
§2J ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ КОШИ 65
(главные оси напряжения) записывается в виде
Т - (т1е1е1 + (т2е!!е24-0Гзезе3. (15)
Написанные выше формулы теперь приводятся к виду
tN =aiyV1e1 + or2yV2e2 + a3A?3e3, (16)
<?n = сг2 jVf -(- ct2A^| -}-0sNl, (17)
tl^olNl + olMl + alNl (18)
T2N = 4(yV^?x? + yV^21T3a + A'i^^). (19)
Здесь ту, т2, т3 -модули полуразностей главных напряжений
"В ~~2 I ^2 сг3 J, т2 "2" | ст3 (TjI, т3 -g-1 cTj a21 (20)
- "главные касательные напряжения". Они реализуются, как видно из (19),
на площадках, делящих пополам угол между главными плоскостями. Выражение
Tn приобретает на них стационарные значения.
На площадке, нормаль которой Nx одинаково наклонена
к главным осям напряжения N^k = у -"октаэдрической площадке"
tfNx = -j ("В + о2 + а3) == у /х (Т), (21)
= Т ^ + а* + °з) = j h (Т2), (22)
== 4 (т2 + т* + т2) =1 [/, (Т2) -I П (Т)
= |[/?(Т)-/, (Т)] = --|/2 (dev Т),
так что
- /2 (dev Т) - j (т2 + т2 + т32) ^ ~ [(ах - о2)2+ (ст2- ог3)2 + (а3-
о,)2].
(23)
Этим дается механическое истолкование инвариантов тензора напряжений. Его
первый инвариант пропорционален нормальному напряжению на октаэдрической
площадке; второй инвариант его девиатора - квадрату полного касательного
напряжения на ней.
Ниже будет показано, что в изотропном упругом материале главные оси
напряжений сонаправлены главным осям меры деформации Альманзи (или меры
Фингера F = g_1). Площадь грани
1
единичного кубика do в отсчетной конфигурации с нормалью е? -главное
направление меры Коши -Грина G (и меры G-1),
^ А. И. Лурье
66 НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 2
1
в актуальной конфигурации приобретает значение dO. По (1.8.7), (1.5.1),
(1.8.2)
dO ==do ]/~ (eJ.G-1-eJ)'/.= |/-G do
S Vg,
Vi l+6i
причем 8k-главные относительные удлинения. Отнесенная к еди-1
нице площади do в отсчетной конфигурации сила равна dO VhlGj
i
do
Величины
ti = tTi ^ о, = w, = (1 + 62) (1 + 63) a2. (24)
<25>
называются в отличие от главных напряжений "главными силами".
"Напряжениями" в общепринятом понимании этого термина являются
"физические" компоненты тензора Т.
Единичные векторы нормалей к поверхностям qs - const и векторы сил,
отнесенных к единичной площади на них, обозна-
S S
чаются N, t (ниже qs - ортогональная система координат)
S D5 s S
N = --- t=N-T
| Rs | >
и по (9)
fktn n tst p __ fst I Rf I _
Tf 1 ' I Rs]" ~ 1 | RJ j ef>
причем et -единичные векторы координатных линий qf.
Физические компоненты Т, обозначаемые ast, равны проек-
S
циям t на эти направления
= = ^ /-gf , (26)
Здесь Gu, GsS-диагональные компоненты мер деформации G и G-1. Конечно,
ast не являются компонентами тензора; очевидно, ost = ats, поскольку GS~1
= GSS.
Исключение представляют декартовы координаты; тогда et = i/ и отпадает
отличие компонент тензора напряжений от его физи-
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
67
ческих компонент. Общеприняты обозначения ох, о , о2 нормальных и хх ,
ху2, х2Х касательных напряжений, так что
tn = ax, t22 = oy, t33 = o2, t12 = xXy, t23--xyZ, t31^=x2X. (27)
В цилиндрической системе координат R, Ф, Z
G11 = G11=1, G33 = G33- 1, G22 -= R2, G22 = R~2
и no (26)
/11 n /33___" /31 rf /22 __ СТф
I - Or, I -Oz, I - Xzr, I --pTf,
Т/?Ф T(r)Z
(28)
t - * t
М2 D > 1
§ 3. Уравнения движения сплошной среды
Рассматривается произвольно выделяемый в сплошной среде объем Vх,
ограниченный поверхностью 0х. Как бы ни был он выделен из объема V (часть
поверхности 0х может принадлежать границе О объема V), поверхностная сила
на 0х определяется уравнением Коши (2.8)
f = M-T = tN. (1)
Законы динамики Эйлера, записанные для объема V, имеют вид уравнений
баланса количеств движения и момента количеств движения
1Шр"лЧП<)кД/+Я'""'
Vх Vх 0х
И1 pI*Xv^ = jjjRxpkdK +RxtNdO.
d dt
' vx Vх
Заменив в поверхностных интегралах tN его значением (1) и применив
преобразование Гаусса -Остроградского, по (II 1.8.4) и (III.8.5) получим
55 N-Tdo=555\-Tdv, 55 rхn-т^о=5S5 (rxу.т-2ш)dv,
0х Vх 0х Vх
(3)
причем со - сопутствующий кососимметричной части Т вектор, равный нулю,
если Т - симметричный тензор. Подстановка в (2)
68
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
ЕГЛ. 2
приводит к соотношениям
ИДе?-('к-у'т)л'-°-
ffi[Rx(p5L-pk~v'T) + 2"'
dV^O.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed