Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку Vх - произвольный объем, подынтегральные выражения должны быть
равными нулю. Первое соотношение приводит к уравнению движения Коши
V.T + pk = p-^; (5)
вторым устанавливается симметричность тензора напряжений
со = 0 => Т = Тт. (6)
Соотношение (1), отнесенное к поверхности О объема К, доставляет
граничное условие на поверхности О. Если рассматриваются равновесные
конфигурации объема V, то правая часть (5) обращается в нуль. В этом
случае уравнения движения называются уравнениями статики.
Возвращаясь к выражению (1.16) силового тензора после замены в нем f по
(1), получим
В = Ш pww+n N. R<fO = $$S (pk + V.TlRdF+SSS TdV,
V О V V
так как
VTR = (V-T) R + R'!-TRJ = (V-T) R + T.
Итак,
в = Ш pkRir+SS"1(0=S5S мг=гт,."
v о V
T^-iWTdV- (7>
v
Здесь Т(га) - среднее по объему значение тензора напряжений.
Симметричность тензора напряжений - также непосредственное следствие
(1.17) и (7)
B-BT=Exm°= (Т-Tr)dV=--0, Т = ТТ (8)
v
(так как это соотношение применимо и к произвольно выделенному из V
объему 1/х).
Из этих соотношений следует также, что при равенстве нулю главного
вектора сил рк и f и при отличном от нуля их главном моменте можно
удовлетворить необходимым условиям равно-
§3] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДБ1 69
весия, сообщив объему конечный поворот и сохранив неизменными направления
сил (или повернуть силы при неизменной ориентации тела). Действительно
после поворота, задаваемого ортогональным тензором, силовой тензор
преобразуется к виду
B' = $$$pkR'dl7+$$fR'ff0 = B-0, (9)
г
так как R' = RO. Тензор О по (8) определится условием
В'-В'т = В'О-О'Вт = 0. (10)
Вместе с тем, предположив, что В - неособенный тензор (det В =^=0), и
использовав его полярное представление
В = (В- Вт)'Т. б, Вт = бт (В Вт) /*, (11)
можно удовлетворить условию (10), приняв
0 = 0Т.
При таком повороте удовлетворяются все условия статики, поскольку
остается равным нулю и главный вектор всех сил.
Замечание. Соотношения вида (7) обобщаются при замене диад kR, 1R
тензорами вида кЧ*" (R), RF (R), причем Ч*' -тензор любого ранга. Имеем
J J f4T (R) dO = N-ТЧГ (R)rfO = JJJ V-T4TdV =
0 0 V
= SSS[(V.T)?(R)+T.V?]dy (12)
и по (5)
5$Jpk4"W+ (13)
v dv
Например, приняв 4*" = RR, приходим к соотношению
J $ $ pkRR dV + $ $ fRR dO = $ $ $ T (ER + R^RRJ dV, (14)
V O V
приводящему к системе восемнадцати уравнений, определяющей все моменты
первого порядка декартовых компонент тензора напряжений
И $ (UsqyXr + t<sr>xi) dV = 55$ pk<s>x4xrdV + f<syx4xrdO. (15) г vo
Оно распадается на три легко решаемые системы. Приняв Ч? = = RRR,
получили бы 30 уравнений для 36 моментов второго порядка.
70 НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 2
§ 4. Тензор функций напряжений
Известно, что тензор с равной нулю дивергенцией представйм ротором
другого тензора -это следует из того, что дивергенция ротора тензора
равна нулю
V• L --= 0, L - V х М, V- L = V• (V х М) = 0. (1)
Если L - симметричный тензор (L -=LT), то следует тензор М подчинить
условию
(VxM)T-VxM- (2)
Ему можно удовлетворить по (III.6.23), (III.6.27), приняв M-(VXQ)T, VxM =
Vx(VxQ)T, L = InkQ, Q = QT. (3)
Из сказанного следует, что уравнениям статики сплошной среды при
отсутствии массовых сил удовлетворяет тензор "несовместимости" InkQ
любого дважды дифференцируемого симметричного тензора
V.T^O, Т = ТТ, Т=- InkQ = Vx(VxQ)T, Q = QT. (4)
В декартовом базисе, принимая поочередно Q =^Q<11>i1i1 -f Q<22>i2i2-f
Q<:i3>i3i3,
Q = Q<12> (hi, + 12Ё) + Q<i3> (*2*3 + i3U + Q<31> (*з*1 + Мз)- (5)
приходим к известным представлениям Максвелла и Морера компонент тензора
напряжений через функции напряжений.
Выражение плоского тензора Т с равной нулю дивергенцией и не зависящего
от координаты х3 может быть задано в виде
T = maRp=Inkisl3U(q\q3) (а, |3 = 1, 2). (6)
В формуле (II 1.6.26) теперь
V2Q = i3i3V2t/, V.Q = R".|^-i3 = 0, /х( Q)== ?/
и поэтому
Т = Ink Q - Ink i3i3U - - i3i3V2t/ + EV2f/ - \\U.
Пришли к известному представлению тензора напряжений через функцию
напряжений Эри (Airy)
Т - E2V2H - WU ¦= R"RaV2f/ - R"RpVaVpf/. (7)
В частности, в декартовых координатах
/и - 0 d4J__ /22 _а _ д2,и. /12 _ т __ d2U ,g,
1 Х~ дх°-2 ' У дх1' ' 1 2 дх'дХ* '
5]
О ПОЛЯРНЫХ СРЕДАХ
71
Представления компонент тензора напряжений, выражающихся через остающиеся
компоненты тензора функций напряжений Q11, Q22, Q12, Q23, Q31, приводятся
к виду
т d'2Ql1 п2 - (,q\
- ~dx3* ' _ дх3" ' " ',rl ,гЪ'2 г1у3 '
/23 d2QU I d2Q12 I u / "Ч- иЧ- ] /1Q4
Зх2ах3 ^ dxldx:i r avi I 3v2 avi / > vlu/
si_ d2Q22 . 52q12
д ( ' dQ22 6Q31 dQ12
дх\ , дх1 1 дх2 дх3
! 3 ! 5Q31 dQ23 \
1 дх1 \ бх2 Эх1 ) '
д I ( dQ2i 6Q31 \
дх2 1 V дх1 дх2 ] '
О12
t
,33 a2Qu a2Q22 0 a2Q12 f11)
" ax22 + ax12 axi ax2 •
He зависящие от x3 компоненты тензора напряжений t'n, t2'3 представимы
через функцию напряжений Прандтля Ф (х1, х2) в задаче о кручении стержня
,, а /а<э23 dQ-^\ дФ /23^ а /а<зз1 а<эаз \ аФ
ах2 V ах1 дх2 )- дх* ' ах1 v ах2 ах1 jах1 •
(12)
В задаче Сен-Венана имеет значение случай линейно зависящих от х3
