Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лурье А.И. -> "Нелинейная теория упругости" -> 23

Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.

Лурье А.И. Нелинейная теория упругости — М.: Наука, 1980. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyauprugosti1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 158 >> Следующая

компонент Q11, Q12, Q22. Тогда
/"^-0, /12----=0, /22^0 и выражению тензора напряжений придается вид Т -
i3'T + ti3 + i3i3 (Vg/j (Q)-yo-V0-Q).
Здесь вектор т определяется формулой
t = ^r(V. (Q) + V0.Q)-i3xV0O, причем V0 - набла-оператор по двум
переменным х1, х2,
Q = ijijQ11 + i2i2Q22 + (U2 + i.ij Q12.
§ 5. О полярных средах
Предполагалось, что действие окружающих рассматриваемый объем V тел
описывается заданием внешних массовых к и поверхностных f сил. В более
общих построениях допускаются также распределения внешних массовых ja и
поверхностных v моментов (пар). Описывая в этих условиях взаимодействия
между мысленно определенными частями среды, приходится принять
предположение, что распределение по ориентированной площадке N dO'
воздействий частиц в объеме У2 на прилегающие частицы в V% статически
эквивалентны не только силе tNd0'
72
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
(главному вектору), но и моменту тмсЮ' относительно некоторого центра на
dO'. Оправдание для казалось бы парадоксального представления, что
моменту приписывается тот же порядок малости dO', что и силе, можно
почерпнуть в самом понятии "малости" в модели сплошной среды.
Сам по себе "бесконечно малый объем" представляется сложным собранием
весьма большого числа элементарных частиц, а - передаваемые через
площадку усилия надо трактовать как некоторый интегральный эффект их
воздействий.
Ограничиваемся рассмотрением равновесия (уравнениями статики).
Для описания напряженного состояния вводится не только тензор напряжений
Т, но и тензор моментов напряжений М. Подобно (2.8) он определяется
соотношением
N-M = mN, (1)
подтверждаемым, как и (2.8), рассмотрением равновесия моментов (пар),
распределенных по граням элементарного тетраэдра.
Остается неизменным первое условие (3.2), выражающее теперь требование
обращения в нуль главного вектора сил, действующих на произвольно
выделяемый объем среды, а также следствие из него - уравнение статики в
объеме. Второе условие (3.2) надо существенно дополнить, представив его в
виде
(Rxpk+ pn)dV + И (RxtN + mN)^0 = 0. (2)
уХ ох
После замен в поверхностном интеграле tN и ihn по (3.1) и (1) и
преобразования его в объемный интеграл теперь получим
555[Rx(pk + V-T)-2c.) + V.M-f pju]rfl/ = 0. (3)
\/Х
Уравнения статики в объеме для сил и моментов приводятся к виду
V-T + pk = 0, V-M + pjr = 2w, (4)
причем по (1.14.17)
fi>=ie..T=I^*RiXRft.
Материалы, в поведении которых проявляются действия моментов напряжений,
называются полярными. Их теория, разработанная в начале века братьями
Коссера (Е. et F. Cosserat, 1909), продолжена в последние десятилетия в
большом числе публикаций по "моментным теориям сплошной среды". Здесь им
не уделено места. Во всем последующем тензор напряжений Коши симметричен.
§6]
ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕНЗОРОВ НАПРЯЖЕНИЙ
73
Замечание 1. Уравнения (4) можно получить вариационным путем, если в
выражение потенциальной энергии упругой среды включить вторые градиенты
места (Тупин, 1964); это несовместимо с принимаемым далее ограничением,
что упругая среда принадлежит к классу "простых материалов" (гл. 3, § 1).
Доказано также (Гертин, 1965), что теория "непростых материалов второго
порядка" требует во избежание противоречий с принципами термодинамики
учета моментных напряжений.
2. В мультиполярной теории сплошной среды (материалы порядка выше
второго) для описания взаимодействий частиц среды через ориентированную
площадку приходится вводить моменты выше первого порядка.
§ 6. Другие определения тензоров напряжений
Описание напряженного состояния тензором Коши Т, определенным в
актуальной конфигурации, естественно и физически наглядно. Трудность в
том, что, как правило, сама эта конфигурация наперед неизвестна, тогда
как отсчетная конфигурация входит в состав исходных данных.
Введение несложно выражаемого через тензор Коши Т тензора Пиола Р,
определенного в отсчетной конфигурации, упрощает общие построения, а в
некоторых случаях подходы к отдельным задачам.
В исходном соотношении (2.3) ориентированная площадка NdO заменяется ее
представлением (1.8.4) через ndo в отсчетной конфигурации. Получаем
t;ydO = N-TdO= j/^у n-VrT-Tdo = n-Pdo. (1)
В рассмотрение введен тензор Пиола
Р= VrTT, F= TVr. (2)
Обратные соотношения имеют вид
т v'rf ^RT> р = V -f- рт~ $R• (3>
Главный вектор внешних сил, действующих на произвольно выделенный объем
Vх, представим через тензор Р равенством
п • Р do = J (p0k + V• Р)dv VX 0х ох dx
74 НАПРЯЖЕНИЯ в СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 2
и условие равенства его нулю (при произвольном Vх) приводит
к уравнению статики в объеме, выраженному через тензор Пиола
V-P + Pok = 0. (4)
Здесь набла-оператор определен в отсчетной конфигурации. Соотношение (1)
имеет вид
n.P = f? (5)
- это уравнение статики на поверхности. Оно значительно упрощается при
"мертвых" поверхностных силах [см. (1.12)]
n-P = f°. (6)
Тензор Пиола несимметричен, симметрично по (3) его произве-
о
дение на VRT слева
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 158 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed