Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваются.
Дальнейшее рассмотрение основывается на применении сформулированных
предположений.
Выберем в качестве объема V цилиндр радиуса а и длины I. Ьудем считать,
что единичный вектор N направлен вдоль оси
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
trH. 2
цилиндра. Напишем для этого тела уравнение баланса количества движения
/ а 2jc I а 2п I 2Л
~ ^ ^ ^ pvr dr dz - ^ ^ ^ pk dl/ + ^ j trr dfp с/г +
ООО ООО оо
а 2л а 2л
Объемный интеграл в левой части этого равенства есть суммарное количество
движения рассматриваемого цилиндра. Правая часть, являющаяся главным
вектором действующих на цилиндр сил, представлена интегралом по объему от
массовых сил, интегралом по боковой поверхности цилиндра (г-а) и двумя
интегралами по торцам г=0 и г = /. Вектор N является внешней нормалью к
торцу 2 = /, а вектор (-N) - внешней нормалью к торцу z = 0. Вектор
напряжения, действующий на бесконечно малой площадке dsN, обозначен через
tN. Устремляя в (1) длину I цилиндра к нулю, получаем, что левая часть и
первые два интеграла в правой части обращаются в нуль, а последние два
интеграла вычисляются по разным сторонам одной и той же площадки 2 = 0.
Поэтому уравнение (1) принимает вид
а 2к
5 $ (t_N + tN) г d(pdr -- 0.
о о
Применяя к этому равенству первую теорему о среднем, получаем
t-N | r=r, +tN\г=гг =0, 0<Г!, г2<а, О^ф,, <p2<;2jx,
ф=ф, ч>=ф2
где произведено сокращение на множитель ixa2. Устремляя теперь радиус
цилиндра а к нулю, получаем первое искомое свойство вектора напряжений tN
tN = - t-N, (2)
где обе части вычислены в одной и той же точке. Поскольку направление оси
цилиндра, а также точка г--0, 2=0 совершенно произвольны, приходим к
заключению, что соотношение (2) выполняется во всех точках, и на
произвольных площадках рассматриваемого тела.
Применим теперь уравнение баланса количества движения к элементарному
тетраэдру, построенному на векторах Ri dq1, R2d<72, R3 clq3. Гранями
этого тетраэдра являются площадки R, X R3 dq1 dq2, R2 x Rsdq2dq3, R3xR,
d*?:i dq1 и плоскость, проведенная через концы векторов Rid*?1. R2d*/2,
R3d*?3. Интеграл по замкнутой (кусочно гладкой) поверхности от единичного
вектора
§2] ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ КОШИ 63
внешней нормали, очевидно, равен нулю. Действительно, используя теорему
Гаусса - Остроградского, имеем
NdO = JSN.EdO=SSSV-E^=0.
0 0 V
Выбирая в качестве О поверхность тетраэдра, получаем равенство
nl R2 di?2 X R3di?:! , n2 R3dq* X Rj dq1 , n3 Rt dq1 X R2 dq2 N ao - К |
R11 IR21 IR31 *
При получении этого равенства было учтено, что внешняя к тетраэдру
нормаль к площадке, натянутой, например, на векторы R2dq2, R3dq3, равна
(-R^R1!-1). Из равенства (3) получаем следующие три соотношения:
I Rm dqm х Rrt dqn | = N • Rj, | R^ | тфп, пфр, тфр. (4)
Конечно, никакого суммирования по повторяющемуся индексу в (4) нет.
Обозначим через t(m) вектор напряжений, действующий по площадке с
нормалью R"jR"|_1. Этот вектор действует по площадкам qm == const и
характеризует воздействие среды, находящейся со стороны возрастания qm.
Запишем уравнение баланса количества движения элементарного тетраэдра
tN dS + t_t | R2 х Ra 11 dq2 dq3 \ -f t_2 ] R3 x Rj \ | dq3 dq1 j + +1_31
Rt X R211dq'dq* 1 = (4- PV - pk) (R, dq1 X R2 dq>) • R3 dq\ (5)
В левой части последнего равенства стоит малая второго порядка, а в
правой - малая третьего порядка. Поэтому с точностью до малых второго
порядка включительно левую часть (5) можно считать нулем. Используя (2) и
(4), уравнение (5) запишем в виде
з ___ _________________
tN = N- 2 Ret,", VGmm, |R "|s/C". (6)
m=sl
Векторы tN и N не зависят от выбора системы координат. Следовательно, не
зависит от этого выбора и сумма диад, стоящая в правой части (6), хотя,
конечно, каждая диада в отдельности зависит от выбора системы координат.
Это возможно в том и только в том случае, когда величина в правой части
(6) представляет произведение вектора N на тензор второго ранга, причем
объект t(m) VGmm является "контравариантным тензором с векторными
компонентами"
64 НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 2
Заметим, что векторы t(m) являются физическими векторами напряжений,
однако, действуют они по площадкам, величина и ориентация которых зависят
от выбора системы координат.
Итак, соотношением (6) введен в рассмотрение тензор второго ранга
T=--R*t", (7)
который называется тензором напряжений Коши. Он является функцией точек
тела и не связан с выбором каких бы то ни было площадок в нем. Значение
этого тензора состоит в том, что вектор напряжения tN по площадке,
определяемой нормалью N, находится с помощью формулы Коши
tN-N-T. (8)
Тензор Т, являющийся функцией места в актуальной конфигурации среды,
описывает состояние среды в этом месте, ее напряженное состояние.
Соотношение (8) -основное во всем построении механики сплошной среды,-
было сформулировано в мемуарах Коши 1823-1828 гг., Т -тензор напряжений
Коши.
Тензор напряжений обычно задается его контравариантными или смешанными
компонентами
