Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
VR VR
так что
О 0 0 0 0 о
V^ = Ф0 ••VRT-AT = t0 VRT-AT^2tG-G--Ат. (22)
VR VR
Аналогично для тензора второго ранга по (9.7)
50 0 0
^-=Q0 • ¦ VRT-Ат-гЛ,
дЯк VR
V-Q =гЛ- (Q0 ¦ VRT- ¦ Ат) • rk - 2rft- (Qc - G• • AT) ¦ rk. (23) VR
Дифференциальное уравнение (12) для градиента места, записываемое в форме
системы уравнений первого порядка
о оо
VR Z, VZ = AZ, (24)
56
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
тотчас же преобразуется к виду (18.6)- достаточно принять декартовы
координаты as отсчетной конфигурации в качестве материальных, представить
Z в виде (3.3) и учесть, что символы Кристоффеля в отсчетной конфигурации
при qs - as обращаются в нуль. Рассмотренная в § 18 задача сведена к
разысканию по (24) тензора Z и к последующему определению вектора места R
по его полному дифференциалу
dR = dr-Z. (25)
г л а в а 2
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
§ 1. Массовые и поверхностные силы
Тело (сплошная среда) в этой главе рассматривается преимущественно в
актуальной конфигурации. Как и выше, объем тела
и ограничивающая его поверхность в этой конфигурации обо-
значаются V, О, а в отсчетной-о, о. Сохраняются обозначения плотности р,
р0 в актуальной и отсчетной конфигурациях. По закону сохранения массы
dm = pdV = p0dv, (1)
так что
л/ - /о\
р ~~dv V g • {z)
Внешние силы-воздействия на частицы тела 3d окружающих его тел. Их
подразделяют на массовые и поверхностные.
Массовые силы действуют на каждую частицу среды. Вектор массовых сил,
отнесенный к единице массы, обозначается к; поэтому
kdm = pkdV = p0kcfo (3)
- сила, приложенная к элементарной массе в объеме V, а рк -¦ сила,
рассчитанная на единицу объема (объемная сила). Главный вектор массовых
сил и их главный момент относительно начала векторов R равны
55$ pkdV= Щ p0kdu, Щ RxpkdK = $$$ Rxp0kck>. (4)
V v V v
Примером массовой силы является сила тяжести
k = -i3 g- (5)
Здесь i3 - единичный вектор восходящей вертикали, g-ускорение силы
тяжести. Другой пример-если частицы покоятся в системе осей, равномерно
вращающихся вокруг неподвижной (в галилеевой системе) оси, то в число
массовых включается "центробежная" сила
к = - их (их R) = со 2/ге.
(6)
56
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
тотчас же преобразуется к виду (18.6)- достаточно принять декартовы
координаты as отсчетной конфигурации в качестве материальных, представить
Z в виде (3.3) и учесть, что символы Кристоффеля в отсчетной конфигурации
при qs - as обращаются в нуль. Рассмотренная в § 18 задача сведена к
разысканию по (24) тензора Z и к последующему определению вектора места R
по его полному дифференциалу
dR = dr-Z. (25)
г л а в а 2
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
§ 1. Массовые и поверхностные силы
Тело (сплошная среда) в этой главе рассматривается преимущественно в
актуальной конфигурации. Как и выше, объем тела и ограничивающая его
поверхность в этой конфигурации обозначаются V, О, а в отсчетной-о, о.
Сохраняются обозначения плотности р, р0 в актуальной и отсчетной
конфигурациях. По закону сохранения массы
dm = pdV = p0dv, (1)
так что
- л/9 (9\
р ~~dv V g •
Внешние силы-воздействия на частицы тела 3d окружающих его тел. Их
подразделяют на массовые и поверхностные.
Массовые силы действуют на каждую частицу среды. Вектор массовых сил,
отнесенный к единице массы, обозначается к; поэтому
kdm = pkdV = p0kdu (3)
- сила, приложенная к элементарной массе в объеме V, а рк -¦ сила,
рассчитанная на единицу объема (объемная сила). Главный вектор массовых
сил и их главный момент относительно начала векторов R равны
Щ pkdV= Щ p0kdv, Щ RxpkdK = $$$ Rxp"kcto. (4)
V v V v
Примером массовой силы является сила тяжести
k = -i 3g. (5)
Здесь i3 - единичный вектор восходящей вертикали, g-ускорение силы
тяжести. Другой пример-если частицы покоятся в системе осей, равномерно
вращающихся вокруг неподвижной (в галилеевой системе) оси, то в число
массовых включается "центробежная" сила
k = - wx(w х R) = ю2/ге.
(6)
58
НАПРЯЖЕНИЯ В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ
[ГЛ. 2
Здесь ю-постоянный вектор угловой скорости, R - вектор места частицы во
вращающейся с этой угловой скоростью системе осей, имеющей начало на оси
вращения; через h обозначен радиус окружности, по которой вращается эта
частица, е-единичный вектор из центра окружности по ее радиусу. Кориоли-
сова сила не включена в (6), так как частицы среды покоятся во
вращающихся осях; "касательная сила инерции" также отсутствует, поскольку
(о - постоянный вектор.
Для потенциальных сил
- Vjx. (7)
Здесь я - потенциальная энергия поля массовых сил. В поле силы тяжести и
в поле центробежных сил
^ = gi3-R> я^ - y|coxR|2-=-^w-(RR - ERR)g>. (8)
Из числа массовых сил исключены силы взаимодействий частиц среды самого
рассматриваемого объема, например, силы ньютонова тяготения. Поля
массовых сил в принятом определении создаются окружающими объем телами.
Предполагается, что он достаточно мал, чтобы можно было пренебречь
взаимными притяжениями его частиц в поле тяготения Земли.
Силы, распределенные по поверхности О объема И,-внешние поверхностные
