Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
vv(0-v R(0 + VR(0w (0Т
91 = vv-|-vvt = 2D.
2D
э2 = Vb-j- vbT + 2vv-VvT Возвращаясь к (10), имеем также
12
(10)
(П)
d t
dl°W
т=/
^ [б м]г
dz
х =t
= U (/)•
*н..-
d *
dx
U (т)
т=/
•11(0=2
d *
и еще одним представлением тензора деформации скорости служит
(12)
§18l По (!)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА МЕСТА
|U( т)-ОХ(т)
= D -
. x-t
= D + es (t)
ts (t)
x-t
49
x = t
Do-e,(0 eMO
(напомним, что е,,-то же самое, что е5). Вместе с тем
es (t) ts (t) + ts (t) es (/) = [e, (t) e* (*)]• =0.
Получаем
W= j (VvT -yv) = - e". (t) e* (t) = es (t) & (t) --
так что
ёЛО-W-e, (0 = -e, (0-W.
Этим определяются производные по времени векторов ортогонального триэдра
0х; изменение во времени этих векторов обусловлено вихревым полем.
Формулам (14) и (1.11.3) можно придать также вид
(VXv)Xe, (t),
так как VXV-сопутствующий 2W вектор.
Компонентное представление индифферентного тензора в штрихованном базисе
О х представляется выражением
Q' =qstzWt
и для наблюдателя в этом базисе производная Q' в этом базисе по времени
(обозначим ее Q') равна
Q' = qsizWt-
"Неподвижный" наблюдатель констатирует при наличии вихревого поля
скоростей вращение базиса es- Определяемая им производная по времени
равна
Q' = qstese'tqst (esej)' = -J- qst (W- esej• W') =
= Q'+W'-Q'-Q'-W\
Отбросив ненужные теперь штрихи, получаем
Q = Q-W-Q+Q.W.
Этим показано, что производная Яуманна - Нолла (16.3) - не что иное, как
производная тензора по времени во вращающейся системе осей. Ее определяет
наблюдатель, следящий за поведением тензора в вихревом поле скоростей.
§ 18. Определение вектора места по заданию меры деформации
Предполагается известной отсчетная конфигурация-вектор
места в ней г (q1, q2, q3). По этому вектору строятся векторные
rs, г5, компоненты метрического тензора g k, gsk, символы о о
базисы Кристоффел
Г* Г], | г | .
Задана положительная матрица
50
Деформация сплошной среды
[гл. !
ковариантных компонент меры деформации Коши -Грина
G,t = R,-R,. (1)
По ней определяется обратная матрица Gst (контравариантные компоненты
метрического тензора в базисе "7 ^-конфигурации^
и символы Кристоффеля [s/, г], . Требуется определить ба-
зисный триэдр Rl R2, R3 актуальной конфигурации, а по нему вектор места в
ней R(ql, q2, tf). Задача сводится к рассмотрению системы
дифференциальных уравнений вида (II 1.4.2)
интегрируемой, как было разъяснено в III. § 10, при тождественном
обращении в нуль тензора кривизны Римана - Кристоффеля (или тензора
Риччи) (II 1.10.14)
'R = ?M"R*R'R-'R', (3)
вычисляемого по заданию матрицы (1) по формулам (III. 10.15ц в них,
конечно, теперь gsk, gsk заменены на Gsk, Gsk\ требуется, чтобы были
равны нулю шесть компонент (III.10.21) тензора Риччи. Поскольку, согласно
(2),
dRs ¦_ dRf /4.
dqt dq* ' К >
соотношение
dR = R sdqs
интегрируемо; вектор места R (q1, q2, q3) определяется квадратурой, коль
скоро базисные векторы R5 будут определены системой (2).
Постановка задачи остается неизменной при наложении на задание (1) меры
Коши не создающего деформации тензора Е. Это позволяет принять G {аМ0) =
Е в фиксированной частице &//".
Следствием тождественного равенства нулю тензора кривизны (3) является
существование единой декартовой системы осей OXYZ, в которой векторы
места определяются выражениями
г = 1/г*, R = iix5(a1, а2, а3) (5)
и as можно рассматривать как материальные координаты qs частицы.
Системе (2) может быть теперь придан вид
МЦ-гт 9 Urn (6)
das - - dat W
Эта система восемнадцати дифференциальных уравнений первого порядка в
частных производных распадается на три системы
^I8j ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА МЕСТА 51
по шесть уравнений (т -1,2,3). Она "вполне интегрируема" - условия
интегрируемости ее по (4) выполнены тождественно.
Доказывается, что существует трижды непрерывно дифференцируемое решение
этих систем, принимающее наперед задаваемые значения *)
zf-=Asm при ак = а% (7)
и в окрестности этих значений
хт = X'sm (as - + хЦ1. (8)
Иначе говоря, в окрестности Л0 (а") вектор места R предста-
вим в виде
R = >m^sm -#о) + R0 = (г -го)-Л + R0, A = A;mi4'im, (9)
где А -постоянный тензор, R0 -вектор-радиус а?0. Поэтому о о
Rf = iyA, VR=r5iY А = A, VRT = Ar, G = A AT
в окрестности а?0. Но тензор G задан, поэтому А - не произвольный
постоянный тензор, его девять компонент связаны шестью соотношениями.
Принимая G (а$, а\, aJ) = E, можно этим соотношениям удовлетворить,
полагая
Е = А'Ат, А = О; R = (г-г0) - О + R0 (10)
- как предвиделось, преобразование отсчетной конфигурации в актуальную
определено с точностью до аддитивного жесткого перемещения среды (§ 4). В
решение входит шесть постоянных - три компоненты R0 = R(�) и три
независимых параметра, определяющих поворот среды в точке Л0.
Аналогично решается задача об определении вектора места г (<?\ <72, q3) в
отсчетной конфигурации по заданию в актуальной конфигурации меры Альманзи
&f=Vr<- (и)
Векторный базис rs определяется системой уравнений
(12>
интегрируемой при тождественном обращении в нуль шести независимых
