Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
силы. Поверхностная сила, отнесенная к единице площади на О, обозначается
f, главный вектор и главный момент поверхностных сил равны
f j f dO = ]/ - (n-G^-n)1'2 fdo,
, 1(3 ?, _ (9)
f|RxfdO=jj ]//-(n-G-1-n)'/2Rxfdo
-О ' о
- см. (1.8.9). Формулой
f-f-NN + (Nxf)xN, (10)
в которой N-единичный вектор внешней нормали О, определяется разбиение
поверхностной силы на нормальную и касательную к О составляющие.
Давление жидкости на погруженное в нее тело -пример поверхностной силы
f = -pN. (И)
Другой пример - распределенная по поверхности контакта реакция тел, на
которых покоится рассматриваемое тело.
g,j МАССОВЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ силы 59
При "мертвом нагружении" поверхностная сила f dO сохраняет величину и
направление в пространстве, будучи приложена в той же точке <М тела *)
fdO = f°do, f (n-G^-n)(12)
Здесь f°--поверхностная сила в отсчетной конфигурации. Сила давления (11)
- пример "следящего нагружения".
Элементарная работа равномерно-распределенного по всей поверхности тела
давления (р = const) на виртуальном перемещении 6R точек поверхности
равна
- j f pN-6RdO = - р ffj V-6Rdl/ = -р jj f б У-dv =
'д "V 'v"
- - pb (j j* ~ dv - - 8p V
V
- были использованы преобразования Гаусса - Остроградского и (1.10.18),
(1.10.2). Получаем
- pN-6RdO = -6П, П = pV, (13)
' о
П-определенная в объеме тела потенциальная энергия равномерно
распределенного по всей его поверхности давления.
Давление жидкости на погруженное в нее тело изменяется по закону
p^yz, у -вес единицы объема жидкости, 2 - отсчитываемая от
горизонтальной поверхности жидкости, по нисхо-
дящей вертикали координата точки на О.
Элементарная работа на виртуальном перемещении 6R теперь определяется
выражением
- vjfzN-6RdO = -у | ffv-26Rdr = -y jjj -\-z8Rdv=
О " V V ^
=~тЩ г"! (r!s?-6r+zv-8r)*=-
= ~"ЯЖ/т "г+гв)/|)л,=
V
= ~ 1) I V1 z dv = ~ уЬ Ш zdV = - yb
_____ v V
*) Например, если в первом положении тела сила составляла с нормалью N К
п°(r)еРхности острый угол, то во втором положении, когда тело повернуто На
'80°, угол станет тупым (вектор N стал-• N).
60 НАПРЯЖЕНИЯ Р> СПЛОШНОЙ СРЕДЕ [ГЛ. 2
причем гс-центр тяжести погруженного объема тела V. Пришли к формулам
6П - 6yzcV, II = vVzc. (14)
При "мертвом" нагружении по всей поверхности
$$f-6Rd0=5Jfo-6Rd0=6$$ fo.Rrfo^eJJf-RdO,
О о о О
П = -JJf-R dO. (15)
О
Понятие "силового тензора" вводится выражением
в= J55pkRrfK +JJfRdO. (16)
v о
Удвоенная кососимметричная часть этого тензора выражается через главный
момент т° внешних сил - массовых и поверхностных. Действительно, по
(1.14.19)
В -Вт = $$$ p(kR-Rk)dy+$$ (fR-Rf) dO =
У о
= Ex($$$pRxkdl/+$$ RxfdoV=Exm°. (17) \ v о /
Если массовое и поверхностное нагружения-"мертвые", то их потенциальная
энергия представляется через первый инвариант силового тензора
/1(B) = -n^5S5pk-RdI/-f $$ f.RdO. (18)
V о
Сложнее представление элементарной работы равномерно распределенного
давления по части Ох поверхности О. Через Гх обозначается ограничивающий
Ох замкнутый контур на О. По теореме Стокса (III.9.11) и и о (III.3.4),
(1.10.19) имеем
<р dR-(Rx6R) = SS N-Vx(Rx6R) dO -=
Г о
X X
= JS N-.[6R-VR - 6RV-R - R-V6R + RV-6R]dO =
°х
= -3 55 N'6RdO+SS N• 6RПО + 5S N<40-(EV-6R - V8RT) =
°x °x °x
= -3 55 N-6Rd.0 + ^\ti-Rd°.
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ КОШИ
61
Выражение элементарной работы приведено к виду
_pjjN-SRdO = --3-p8j^N-RdO + yp j dR-(Rx8R). (19)
ox ox rx
Нагружение равномерно распределенным по части поверхности давлением
непотенциально. Исключением является случай жестко заделанного края.
Тогда 6R = 0 и по (19)
_p^N-6RdO = yp6J^N-RdO- -6П, П-=уЭДpN-RdO.
о у О х О X
(20)
К этому результату приводит рассмотрение и случая жесткого контура,
могущего смещаться в своей плоскости, не отрываясь от нее.
§ 2. Тензор напряжений Коши
Тензор напряжений является одним из главнейших, и притом первичных,
понятий в механике сплошных сред. Существует много способов введения
тензора напряжений, однако все они содержат, по существу, следующие
предположения.
1. Уравнения, выражающие баланс количества движения и момента количества
движения, сформулированные для системы конечного числа материальных точек
и абсолютно твердого тела, естественным образом обобщаются применительно
к деформируемым телам. Это-эйлеровы законы динамики.
2. Если внутри тела выделить произвольный объем V посредством замкнутой
поверхности О, то воздействие части тела вне V на объем V сводится к
заданию на О некоторого векторного поля, называемого вектором напряжения
tN и представляющего собой поверхностную плотность вектора силы. При этом
вектор силы dP, действующий на бесконечно малый элемент dO, вычисляется
по формуле dP ^tNdO. Выбор tN предполагается непрерывным по
пространственным координатам.
Вторым предположением исключены из рассмотрения так Называемые полярные
среды, в которых помимо вектора напряжений на поверхности О действует
вектор моментных напряжений p,N такой, что момент dM, приложенный к dO,
находится по формуле dM= fxN dO. Полярные среды в этой книге не
