Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
неизменными, то мы ожидаем, что и напряжения при этом окажутся
неизменными. Вместе с тем понятно, что при жестком повороте тела тензор
напряжений поворачивается вместе с телом, т. е. поворачиваются его
главные оси, а собственные значения не меняются. Иными словами, тензор
напряжений оказывается как бы "вмороженным" в данное тело. Объекты,
обладающие при жестких движениях аналогичными свойствами, будут в
дальнейшем называться индифферентными.
Рассмотрим два движения деформируемого тела R (q1, q2, q3\ /) и R' (q1,
q2, q3\ t), ни одно из которых, вообще говоря, не является жестким. Будем
говорить, что эти два движения различаются жестким движением, если в
данный момент времени между ними существует связь вида
R'(<7\ q\ q3', t) = с (t) + [R (q\ q\ q3; f)-Re(0]-0 (*)• 0)
Здесь с (t) - место, занимаемое R0 при движении R', О (i) - собственно
ортогональный тензор. Если между любыми двумя движениями тела можно
установить соответствие (1), то такое тело называется абсолютно твердым.
Определение: тензорное поле &-го ранга A (g1, q2, q3, R) называется
индифферентным, если при наложении жесткого движения оно преобразуется по
следующему закону:
A'(R') = ^,",'*(R)eirO(/)...clVO(0. W
Здесь 0(t) - тот же ортогональный тензор, что и в (1), е,-- произвольный
базис. В частности, скаляр является индифферентным, если выполнено
условие
ф' (R') = Ф (R)-
Типичным примером индифферентного скаляра является плотность. Последняя
зависит от движения R, поскольку при этом
§ ,5] ЖЕСТКИЕ ДВИЖЕНИЯ. ИНДИФФЕРЕНТНЫЕ ТЕНЗОРЫ 43
меняется объем. Однако объемы в движениях R и R' совпадают, поэтому и
плотности совпадают. Примером неиндифферентного скаляра является
кинетическая энергия, но внутренняя энергия индифферентна.
Вектор а индифферентен при условии
a' (R') = a (R) - О (t) = От (/) - a (R). (3)
Из (1) немедленно следует, что базисные векторы R4 индифферентны.
Действительно, поскольку с (t) и О (t) одинаковы для всех частиц тела, то
Rs = Ri-0 = 0TRi, (4)
т. е. базисные векторы "вморожены" в тело.
Найдем компоненты индифферентного вектора в движениях R и R'. Легко
убедиться, используя (3) и (4), в справедливости равенства
a'(R')-R; = a(R)-R,.
Отсюда вытекает, что положение вектора а' относительно базиса Rs точно
такое же, как и положение вектора а относительно базиса R4. Вполне
аналогично из (2) и (4) следует, что компоненты индифферентного тензора
относительно базиса R,. остаются неизменными при наложении жестких
движений.
Согласно (2) индифферентный тензор Q второго ранга определяется
соотношением
Q' (R') = ?rfR,• OR, • О = От • qstRsRt• О,
так что
Q'(R')==0T Q.O. (5)
Индифферентные величины "вморожены" в базис, сохраняются числовые
величины их компонент, равно как и ориентация в векторных базисах R4. и
Rj. Поля а и Q смещаются и поворачиваются вместе с базисом,
"наблюдатель" за поведением индифферентных
полей не знает, с каким базисом он связан.
Дифференцируя (1) по t, имеем
v' =c(0 + OT-v + OT-(R-R0) =c-f 0Tv-f 6T0-(R'-с), так что
v' - От v =c + 0T 0 (R - с). (6)
Вектор скорости неиндифферентен; это следует из (3), поскольку правая
часть (6) не нуль. Это и понятно: так как частица Движется, вектор v не
"вморожен" в среду.
Кососимметричный тензор
Q =0Т0 = - 0Т0 = - йт (7)
44 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
представляет тензор угловой скорости (спин) штрихованной системы
относительно нештрихованной; ю - сопутствующий ему вектор угловой
скорости. Формула (6) преобразуется к виду
v' = с + От- v + й- (R' - с) =От- v + юх (R' - с) + с. (8)
Дифференцируя (1) и (8) по qs, получаем
R; = R,0, 0=R*R(, 0-R'* = R*8*=Rft,
R'S = 0T- R5, R5R'5 = 0t,
V'v' = R• О + R"Q • R; = 0T• R* ^ • О - R'*R(• Й.
Итак,
VV =Or Vv-O - Й, (V'v,)T = 0T-VvT-0 + Q. (9)
Градиент скорости - неиндифферентный тензор. По (13.10) и (13.11)
получаем
D' = От-D О, W'^0T W 0 + Q (10)
- деформация скорости - индифферентный тензор, тензор вихря скорости
неиндифферентен. Формулы (10) составляют содержание теоремы Зоравского
(Zorawski).
Формулы преобразования градиентов места, поскольку отсчет-ная
конфигурация не преобразуется, представляются выражениями
VR' = r*R; = r*RsO = VRO, VR'T = 0TVRT, (11)
V'r = R'% = 0TR%^0TVr, V'rT = VrT0 (12)
и из них следуют преобразования мер деформации
G' = VR'• VR'T - VR 0-0T-VRT = VR • VRг = G, (13)
F' = VR'T- VR = От - VRT - VRO - Ог - FO. (14)
Мера Коши -Грина неиндифферентна, Фингера -индифферентна. Следствием из
этого и формул (6.4) является неиндифферентность левого, индифферентность
правого тензора искажений. К этому же можно прийти, основываясь на
полярном представлении градиента места
VR-UOx = VR' Or -U' О Or,
причем, как было условлено, крестиком обозначено ортогональное
преобразование, сопровождающее деформацию (§ 6). Но полярное
^16] объективная производная ТЕНЗОРА 45
о
представление VR единственно. Поэтому
U-U', 0х' = 0Х0. (15)
Отсюда и из (11) следует
VR=OxV = VR'Ot = Ox • V' • От = 0х • О • V' • От, V = 0 V' ог
