Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
компонент (III. 10.21) тензора Риччи (конечно, в
*) Карта н Э. Геометрия римановых пространств.- М.; Л.: ОНТИ, 1936.
Теорема доказана в предположении', что функции Gsf (а1, а2, а:!) дважды
непрерывно дифференцируемы по всем переменным ак в некоторой односвязной
области их задания. В "Курсе математического анализа" Э. Гурса (т. II)
доказы-
вается существование голоморфных решений вполне интегрируемых систем с
голоморфными правыми частями.
52
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
О
(III .10.15) следует заменить \ks, т] на [&s, tri\). Вектор места
определяется квадратурой из соотношения
dr = rsdqs. (13)
§ 19. Тензоры аффинной деформации
При однозначном и дважды непрерывно дифференцируемом преобразовании
материальных координат qs к новым координатам qr
qr = qr (q1, q\ q3) (1)
символы Кристоффеля преобразуются по формулам (II 1.4.9). Записав эти
формулы один раз в векторном базисе актуальной конфигурации, второй - в
отсчетной, после почленного вычитания придем к соотношению
<2>
в котором cf, cl определяются только преобразованием (1) и никак не
зависят от выбора векторных базисов. Этим доказано, что разности символов
Кристоффеля в актуальной и отсчетной конфигурациях оказываются связанными
преобразованием вида (III.4.10) и поэтому представляют компоненты тензора
третьего ранга
л* - ( qX f q\ HI
- ( st j ~ | st | ' {6>
Этот тензор можно определить как в актуальной, так и в отсчетной
конфигурации представлениями
А -= R*R'R,A?,, Ar=-ReR'R'A?" (4)
A = r'r'r qAlt, Ar = r9r4rMfb (5)
симметричными относительно нижних индексов s, t. Знаком "т" обозначена
замена триады R"R^R^ (или rVr?) на R^R^R' (на r?rV). Формулы (4) и (5)
определяют различные тензоры, имеющие одинаковые компоненты (тензоры-
"изомеры").
Аффинным называется преобразование отсчетной конфигурации в актуальную, в
котором декартовы координаты актуальной конфигурации - линейные функции
декартовых координат отсчет-
§19l
ТЕНЗОРЫ АФФИННОЙ ДЕФОРМАЦИИ
53
В другой записи
R --= (г - r0)-A + R0,
(6)
где А-постоянный тензор - тензор, компоненты которого в декартовых
координатах постоянны. Ковариантная производная Л равна нулю (при любом
выборе координат qs).
Следствием (6) служат соотношения
Значит и тензоры (4), (5) - нулевые, если преобразование отсчетной
конфигурации в актуальную не отличается от аффинного. Эти тензоры,
характеризующие "неаффинность" преобразования, называются тензорами
аффинной деформации (А. П. Норден).
Формулы (3) можно представить через ковариантные производные мер Коши -
Грина и Альманзи. Имеем
Отсюда и из двух аналогичных равенств, получаемых круговой перестановкой
индексов sir, находим
после подстановки в (8) приходим к искомому представлению
так что
(7)
dGst\ dqr J
(8)
Но в базисе отсчетной конфигурации
Теперь учитывая, что
о
о
Аналогично
получим
АЪ= - -^g"r(Vsgtr + Vtgsr - Vrgst)-
(10)
54 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. 1
Вспомним также, что по теореме Риччи (III.5.11)
VG^= 0, Vgst = 0;
можно представить (9) и (10) также через ковариантные производные
компонент тензоров деформации (7.8)
АЬ = G?r ('Vsctr + Vtcsr - Vrcst), Ah g*r (Vsatr + Vtars - V,.asf).
(П)
Применение тензоров аффинной деформации позволяет избежать введения
символов Кристоффеля в представлениях дифференциальных операций над
тензорами. Исходными соотношениями служат формулы дифференцирования
градиентов места
{ s*} riR"" {/J r,7^=^rAR,=7l^r,-?R=r,-A. VR.
Итак,
до 00 00 00
dqk
^ VR = rft- А • VR, VVR = A-VR. (12)
Аналогично получаем
d
0 0 0 0 0 0 0 VRT = VRT-AT-rft, VVRT = r^VRT AT-rA;, (13)
- Vr = -Rfe-A-Vr, VVr = - A ¦ yr, (14)
oqn
- VrT--= - VrT-AT-RA, VVrT = - RftVrT • AT- R*. (15)
dqk
Основываясь на этих формулах, получаем представления производных мер
деформации Коши - Грина и Альманзи
|^ = rft.A-G^G.A-.r" ^ = -(R*-A-g + g-AT.Rfc). (16)
Свертки компонент тензоров аффинной деформации по верхнему и нижнему
индексам приводят к выражениям
.k _d\n\~G d\nVg d , (]7)
Ak* V T' ( '
При свертывании по нижним индексам тензоры аффинной деформации определяют
векторы
G,4RH?* = E--А = Аг-Е. ?%Л7,=*Е--А=А--Е. (18)
j 19j ТЕНЗОРЫ АФФИННОЙ ДЕФОРМАЦИЙ 5Й
Дивергенция меры Фингера. По вышеприведённым формулам имеем
л0 О О /О О N о
jL F = - VRT- VR = VRr - ( Ат'Га + г,.-A j • VR ^
• dqk дЯк
= VRT • (r"H + rsrq) • VR Ah - gms (R,R,e + R"R,) Ajk, (19) V.F = 6^-
FA?,;-fg%A?,.VR = F-R^ln|/| +VRT-(AT •• E).
Получаем
V - F = F ¦ V In j/'y + (E • • A) ¦ VR = F • V In j/"-j -(-VRT • (AT • •
E).
(20)
Понадобится еще знать VF2. Имеем
V F2=F V F + F VF, F-V.F^F2-Vln]/J- +F-VRT-(Ar • • E),
F VF - (F R*R,R* + F R*F RR,) A%k -
- F - ¦ R,RftRMfft-F + F - • F • R*R?R(/Affe ^ F • • (AT- F -f F-A).
Итак,
V F2= F2-V + F-VRf.(A- -E) + F- • (AT-F + F • AT). (21)
Применение тензоров аффинной деформации позволяет связать
дифференциальные операции над функциями градиента места или мер
деформации с производными по этим мерам. Например, для скаляра
блф (VR) = V\p-= лф0 • • 6VRT - \])0 . . Ат-глб<7/г,
