Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
b = f + v.Vv = |f-fVv-v. (8)
Обозначение (10.3) вектора R1 повторяет определение (1) вектора скорости;
поэтому остальные формулы в § 10, если речь идет о величинах, зависящих
от R (но не от его производных по qs) и не зависящих явно от /, сохраняют
свое значение при замене w на v, а точки в верхнем индексе точкой над
буквой.
При a, Q, явно не зависящих от времени, формулы (7) повторяют определение
(10.13) конвективной производной, когда говорится и о конвективном
переносе, создаваемом полем w. Само собой разумеется, производные по
времени величин, зависящих только от времени (но не от места) также можно
обозначать точкой над буквой. В этой книге почти не отведено места
нестационарным полям (явно зависящим от времени), поэтому теряется
различие между материальной и конвективной производными.
Производная по времени градиента места, заданного его полярным
представлением (6.1), определяется по (10.7)
(vr)'=VR.Vv = (U-0)- = U-0+ и-о.
Поэтому
Vv = Vr- (U -0 + U-0) = От- (U-1 ¦ U - 0 + О). (9)
l4-j МАТЕРИАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА 39
Линейный тензор деформации г (v) над вектором скорости ("деформация
скорости") традиционно обозначается через D, а тензор вихря (спин над v)-
через W. По (9) получаем
D =j (Vv + VvT) = у От- (U-1 • U ф- U • U-1) - О, (10)
W = ±(VvT-Vv) =6T-0 + i-0T-(U-U-1- U^-UJ-O. (11) Было использовано
соотношение (11.8).
§ 14. Материальная производная интеграла.
Закон сохранения массы
Рассматривается интеграл от величины, заданной в ^ф-кон-фигурации
сплошной среды, включенной в объем V
Ч' = Ш'Р'й'. (>)
v v V
В отсчетной конфигурации частицы, включенные в V, заполняли объем v\ это
позволяет, заменив dV по (1.1.9), представить выражения (1) интегралами
по объему v
т=Я1 V7ф*' с=1Я adv' Р=;Ш v^fQdv- &
V V V
Вычисление материальной производной от величин (1) затруднено
переменностью объема V; ограничивающая его поверхность О сама изменяется.
Это затруднение отпадает, если обратиться к выражениям (2); теперь
достаточно выразить материальные производные самих подынтегральных
величин. По (10.18) и (13.6) получаем
МЯ у^ y(cpV't'+(p) dt,=IiI V у(ф?-у+у-Vcp+fr)dy=
V ° V *
+ <3>
и аналогично
С=Щ (ar-v +v - Va + ~) dv*= (JJ (~ + V-vaj (/1^. (4)
* ~ ffi ¦ ' + ¦v •VQ + тг) * = f f f (тг+v" ) dV- (5)
V V
40 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. !
Действительно,
V-vQ = (V-v)Q + R5-v^r = (V-v)Q + v-VQ.
В условиях допустимости преобразования Гаусса -Остроградского (III. § 8)
эти формулы преобразуются к виду
Ф = Щ1Л/+ Jj N-vcpdO, с- N-vadO.
N'vQ'i0- (б'
V 0
Формула (3) применяется к выводу уравнения неразрывности, выражающего
закон сохранения массы. Масса сплошной среды в объеме V актуальной ^-
конфигурации"определяется интегралом
т> S И р (91- ?2> я3> l)dV = S И р (R; 0 (7)
У У
Через р обозначена масса в единице объема среды -ее плотность,
положительная функция материальных координат и времени. Масса т - сумма
масс ее материальных частиц в объеме V; эти же частицы в отсчетной
конфигурации образуют объем v с мае сой т0, распределенной по нему с
плотностью р0 (q1, q2, q3). По закону сохранения массы
/я = /я0, /я = 0 (8i
и по (7) иТ(3)
Шр(К; о)
У / У . '
Объем V можно назначить произвольно. Приходим к уравнению неразрывности
|f + V-pv = 0. (10)
Это же соотношение можно получить, выразив неизменность
массы элементарных объемов dv и dV
dm0 = p0dv = dm= рdV, - ~ . (Ю
'и р dv У g
Действительно, дифференцируя по времени, имеем
= (/у)'= p(R; 0-lf+v-Vp, (1
2)
?14] МАТЕРИАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА 41
так что
_fl(|. + v.Vp)=p|/|'v.,, ± + v.Vp + pV.v . 0,
как и требуется. В стационарном движении p---p(R), уравнение (10)
приводится к виду
V-pv = 0 (13)
и при р = Ро ~ const дивергенция скорости оказывается равной нулю
V • v - 0 (14)
- это уравнение несжимаемости несжимаемой среды. В несжимаемом движении
сжимаемой среды
$ + Wp = 0.
Материальная производная циркуляции вектора по материальному контуру Г.
По (3.6) и по определению (III. § 8) циркуляции вектора имеем
С = (/>dR-a= (^dr-VR-a,
Г V
С = (j) dr¦ (vr-а) = fftdr-VR-[Vv-a + a] =
7 7
= j) dR • [V (v • a) - (Va) • v -f a],
г
причем у- контур в отсчетной конфигурации, образуемый теми же частицами,
что и Г. Вместе с тем по (III.2.3)
dR-V (v-a) = d (v-a), (f) dR- V (v-a) = 0
г
в предположении, что скаляр v-a однозначен. Итак,
С = § dR- [a - (Vn)-vj. (15)
В частности при a=v по (III.3.2)
17 t'2 1
(v-v) -=(Vv)-v,
<pdR-(Vv)-v = j<fdR- Vv^y^do* ="°-
42
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. 1
Приходим к теореме Кельвина:
C==^dR-v, С - & dR ¦ v = j) dR • b (16)
г гг
- производная по времени циркуляции вектора скорости по материальному
контуру равна циркуляции вектора ускорения.
§ 15. Жесткие движения. Индифферентные тензоры
Напряжения, возникающие в твердых телах, порождаются, в частности,
деформациями этих тел. Поэтому, если на рассматриваемое движение тела
накладывается жесткое движение, т. е. движение, не сопровождающееся
деформацией, а все прочие параметры (например, температура) остаются
