Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
е*-е-е^
s k
Vgs + V Gk
0 0 о
- zkzs- VR + O- Vw
Здесь использованы формулы (4.18). Имеем также
°т-=-2 ZL у9^уж 'Vr+VwT • °т
(6)
(7)
Приняв представление (6.5) тензора О, легко проверить выполнение условия
0' 0г + 0 От =0. (8)
l2j ВТОРАЯ ВАРИАЦИЯ СКАЛЯРНОЙ ФУНКЦИИ 35
Отметим также соотношения
О* • VR- = VR • О- = 0. (9)
Действительно,
0' VR- = 0' О- U = (0' От) U = 0,
так как тензор 0'-0т по (8) кососимметричен, a U симметричен.
Основываясь на формулах (6), (7), можно вычислить и конвективные
производные тензоров искажений U, V
U = (vR-0-)'= VR.(VwO- + 0-),
V = (vr- •())' = (10)
= Vw- • V + VR- • O' - Vw- ¦ V + V • Vw -2 ?? VsVk4zs.
S k
Сославшись на (9), имеем также
Д (U)* - Д (U') = Vw- Ог VR = Vw -V. (И)
§ 12. Вторая вариация скалярной функции тензорного аргумента
Мера деформации Gx в "^("-конфигурации представляется ее точным
выражением
Gx = VRX ¦ VRTX = VR • (E + T]Vw) • (E + r]Vw-) • VR- =
= G -j-2r) VR ¦ VR- r|2VR • Vw - VwT- VR-. (I)
Поэтому следует иметь в виду при вычислении с учетом сла-
гаемых второй степени относительно параметра малости т] необходимость
внести в формулу (II.4.23) для второй вариации <р (Gx)
о о
слагаемого ifVR- Vw Vw-- VR- в выражение множителя 6G- при первой
вариации. Формула (II.4.23) приводится к виду
Ф (Gx) - ф (G) = фс (G) • ¦ (2r)VR •?• VR - ф- r|2VR • Vw - Vw- • VR-) ф-
+ j2t]VR-?. VR-- .фсс (G)- .2^VR-?. VRr-f . . . = т]фс (G) ¦ -G'-f
+ ^[2ф0 (G) • • VR • Vw - VWT- VR- ф- G'- • Фоо (G) • • G*] ф-. . .,
(2)
причем G' задается по (10.10). Эта необходимость отпадает при
о
Разыскании второй вариации скалярной функции аргумента VR; 2*
36 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. i
тогда в (П.4.23)
8VRT - r]VwT- VRT;
/ ° \ / о \ о (3)
ф ^ VRxJ - ф VRJ = т]ф0 • • VwT -YRT +
VR
+ Y Vwr-VRr--ф0 0 • VwTVRr-f-... VRVR
Например, при *p(G) -Д(С), фс="Е, 4>gg = 0 и по (2)
Д (Gx) = /1 (G) + 2tjE- • VR-e-VRT + r)2E- -VR-Vw- VwT • VRr =
= Д (G) + 2i]F• •? + T]2F• • Vw-VwT (4)
- конечно, это же выражение непосредственно следует и из (1). При
ф(0)=1/7ЛО), фс(0) = | /77(0) G-1,
и по (2)
VJ7W)~VT^)=У7Ж) {\Ф-1 ¦ • о*+
+ ~ц2 - G'- • G-1 • G-1 • -G*+ G-1- • VR-Vw-Vw1-VR' +
+ | G'. -Gg1 • -G'j | •
Вычисление входящих сюда выражений по (II.4.20) и правилам свертывания
(1.7.16) дает
yG1- -2VR ?• VR' =. VR-.G"1 VR- -e = E- e-V-w,
о о
G_1- -VR-Vw- VwT • VRr = E • ¦ Vw - VwT = Vw • • Vwr,
у G*- -G^G1 -G' =1(G*. -G-l)2= (V-W)2,
1 /n • /"¦> - 1 /"¦> •
у u • • Ug • u =
= -VR-E-VR-. .G_1-rV-G_l (r,rf + rtr,)- -VR-e-VRT =
о о г о oo on
= _E. . VRr.G-1rVG-1VR[VR-rirrVR + VRT r^-VRj • •?
= - в- • Rf R* (RfR( + R(R,) - -e = - e- - (Сш + Cu) • • ? =
= - 2e ••? = --2Д (e2).
§l3] КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 37
Были использованы также выражения градиентов места (3.1) и сверток
(1.15.4) изотропных тензоров с тензором второго ранга. Приходим к
соотношению
/77(0*) - /77(G) =
= //3(0){Tl/l (e) + ^-[7i(e) + Vw- • VwT 21 j (е2)]| =
= //s (G) |r|V- w + -T-r)2[(V-w)2 - Vw- • Vw]| . (5)
Следствием - служит формула, определяющая вычисленное с учетом слагаемых
порядка т|2 приращение объема тела после наложения поля перемещений r|w
1/х-+ [(V-w)2-Vw - • Vw] dV. 4(6)
V г
§ 13. Кинематические соотношения
По уравнению движения (1.3) частицы <Jl{qx, q2, q3) определяется вектор
ее скорости
V = WRto1. <Л<ЛО- (О
После замены в этом представлении материальных координат координатами
места в актуальной "^-конфигурации (см. § 1) выражению (1) придается вид
v = v(x\ х2, х3; ?) = v(R; t). (2)
Здесь совершен переход от материального ("лагранжева") описания движения
к пространственному ("эйлерову"), как объяснялось в § 1. Соотношением (2)
определяется поле скоростей в среде. В (1) А прослеживается движение
данной частицы, в (2) наблюдается движение "теперь, в этом месте".
Пусть в поле скоростей (2) задано скалярное поле
Ф = Ф (q1, q2, q\ f) = "p(R; 0- (3)
Дифференцируя это выражение и используя (3.7), получаем
d^^dt+^d4s=wdt+dR-RS!^=wdt+dR-^' (4)
Первое слагаемое определяет приращение <р в данном месте 33 промежуток
времени dt-локальное изменение; наличие вто-Р°го объясняется тем, что за
этот промежуток времени частица °^(<?А), несущая значение скаляра <р,
сместилась из места R в место R-f dR = R-{-vdf, в котором скалярное поле
приобретает
38
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ. I
приращение v-Vqidt. Иначе говоря, это-конвективный перенос, создаваемый
полем скоростей. По обозначениям § 10 имеем
6хср = dt v-V(p, cp-=vVcp (5)
- поле вектора w здесь заменено полем v, а параметр малости
г| через dt.
Соотношению (4) придается вид
Ф='-|г + Ф'- (fy
Этим выражением определяется "материальная производная" (говорят
"индивидуальная", "субстанциальная") ф по времени, равная сумме локальной
и конвективной производной. Обозначение
точкой над буквой просто, но не общепринято ^встречается
d _D_\ dt ' Dt)'
Аналогично определяется материальная производная вектора а, тензора Q
a(R; /) = -g- + vVa = |f + VaT.v, Q (R; t) + vVQ. (7)
В частности, при a = v первое соотношение определяет поле ускорений b
