Нелинейная теория упругости - Лурье А.И.
Скачать (прямая ссылка):
актуальной ^{-конфигурациях. Вариацией вектора R, обозначаемой 6R -R^^,
определяется его изменение при смещении частицы а? (qk) в ее окрестность
<Л (qk-j- bqk). Разность же Rx - R определяет изменение места этой
частицы, создаваемое налагаемым полем смещений tjw. Ее будем обозначать
6x^ = RX-R = t]w, (2)
JIO] ВАРЬИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 31
а коэффициент при ц в этой и приводимых ниже формулах точкой в верхнем
индексе варьируемой величины
R- = lim -5^=w. (3)
Т1 О Ч
Векторный базис в 'Pf-конфигурации по (1) задается тройкой векторов
R? = R, + Л -^г = ¦ (Е + Р Vw) = (Е + riVwT) • R" ^
r; = r, Vw = Vwt r,.
Взаимный базис проще всего определять из соотношения, выражающего
неизменность единичного тензора. Отбрасывая величины порядка Г]2,
получаем
Е = R>"RX -= RXSR, + R*"r]R,-Vw = RX*RS + pRJRs• Уw =
= RXSR5 + T)Vw,
так что
RXSR^ - E - pV w, RXJ=RJ - r]VwRs,
Rs' =- R*VwT =-Vw-R*.
Это позволяет определить набла-оператор в -конфигурации выражением
Vx = Rx^ = (RJ - V^W-R^)^ , V' = -VwV. (6)
Градиенты места в f3^. По (4) и (5) получаем / о \х о о /оч.о
о
(VR) = rfR^ = VR-(-r|VR-Vw; ( VR j = Vr.Vw = Vw, .
o' у 0 0 \')
VR^j = VwtVRt = Vwt,
(Vr)x = RJXrf = Vr - pVw-Vr; (Vr)" - - Vw-Vr,
(VrT)' = - VrT- VwT.
Меры деформации в По (7) и (8), пользуясь легко про-геряемым правилом
{<№)'= <№ + <№, (9)
получаем
G* = (vR-VRT)" = VR • (Vw -f- VwT)- VRT = 2VR-e (w)- VRT, (10)
F" = (vrt'.Vr)' = F-Vw + Vwt-F. (11)
Функция места частицы aS(qk) в ^^-конфигурации представляется разложением
Ф (Rx) = Ф (R) + (Rx - R)- УФ-f-... =ф (R) -f- pw-УФф-.,.
32 ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [ГЛ. I
и в соответствии с принятыми обозначениями
Ф' = Нт - [Ф (Rx) - Ф (R)l = w-VCD и т. д. (12>
т} -> О 'I
Например, в применении к вектору a(R) и тензору Q (R)
a(R)* = w- Va = VaT-w, Q(R)'^wVQ. (13}
Величину Ф' следует назвать конвективной производной; ею определяется
изменение отнесенной к частицеоМ (qk) величины Ф, обусловленное переносом
этой частицы векторным полем w из места R в Rx.
Конвективная производная функции тензорного аргумента Q, следуя
определению производной по тензору, вводится соотношением
8ХФ = Фо • • 8XQT - Ф(з • • r]QT'; Ф (Q) - Фц- QT . (14)
Конвективные производные инвариантов /А(G). По (4) и (10) имеем
1г (G)' - Е G*-2E- • VR-e(w)- VRr = 2VRT-VR-•e(w)=-2/1 (F• е),
(15)
/2 (О)' = [Е/, (G) - G] • • O' = 21, (G) /, (F • e) - 2F2 • • e =
= 2[/1(F)/1(F-e)-/1(F2-e)], (16)
/, (G)' = /3 (G)G"1- -G' = 2/3 (G) VRTG_1- VR- -e =
= 21 g (G) E • • e --= 213 (G) I, (e) = 2/3 (G) V. w. (17)
Были использованы правила свертывания (1.7.16) и формулы для производных
от инвариантов (II.3.1), (II.3.3). По (17) получаем также
У7ЖУ= У y^fY-w. (18)
Конвективная производная ориентированной площадки. По (8.5), (18), (8)
имеем
(N <40)'= ^ У -^-n- VrTdo^j = У~ (n- VrTV• w -n- VrT- VwT) do = N dO- (E
V- w - Vw1) -- (EV- w- Vw) • N dO. (19)
Отметим также применяемые далее соотношения
[T(F)]' = Tf- -F^Tf- -(F-Vw +VwT-F), (2n)
[p(vr)]'=P0 • .VR*- = p(vr). .Vwt, (21)
VR
(N-TdO)' = (N dO)'-T + N dO-Т' = N dO-(Г + TV-w-VwT• T). (22)
§П] ВАРЬИРОВАНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОГО ТЕНЗОРА 33
Конвективная производная отношения площадок. По (18), (8.7), (8) и (8.5)
получаем
d0_
do
¦ dO у,
- -г~ V • w
do
+ yVt (п'^-1'п) (n• G'1 • n)'; (nG-1-n)' = - n -[VrT- VwT- Vr + VrT- Vw -
Vr]-n
= - 2n-(VrT-E-Vr) n^ - ¦§"N-b-N,
так что
Итак,
1 j/
<23>
§ 11. Варьирование сопровождающего деформацию ортогонального тензора
Варьируя по правилу (10.9) соотношение, определяющее главные значения qs
и главные направления es симметричного тензора Q, имеем
Q ¦ = 2 Qs^s> Q ' Q ' = (.Qs^s "Ф Qs^s) (1)
s s
или после скалярного умножения на гк
е/г • Q* •е* + 5! qktk ¦ ts == >] (q'stk ¦ ts + qsek • e().
k S
При k=~-s, eiS-eJ=l, е^-е( = 0; при k=^s, ek-es - 0. Получаем
л* • eA'Q '?s Cfc-Q -e^
?,-e,-Q.e" e."i;T^7e' (2>
k
(штрих указывает на пропуск слагаемого k-=s). Таковы формулы для
конвективных производных главных значений и главных направлений тензора.
ЛНй л-у
В применении к мере деформации Коши -Грина по (10.10), (6.1), (6.2) имеем
^.0 0 0 0 0 о
Gs = 2e,-VR.eVRTe, = 2ec-U0?.0Tllet =
S
0
2VGsts-0-e-0^-tsVGs,
2 А. и. Лурье
34
ДЕФОРМАЦИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
[ГЛ.
так как ts- по (6.5) находим
Gs = 2Gsts • в ¦ cs.
(3)
Представление вектора ej аналогичным образом преобразуется к виду
,оо о о п , _____
efe.vR e.vRT.ej° о V VGsGk
G*~Gk * и
e: = 2S
оу'j^?ke -в ее -zz+ Gs-Gk k sk'
(4)
Задавшись представлением (6.6) сопровождающего поворот ортогонального
тензора, можно представить его конвективную ' производную в виде
v-^ Q- 0 0 ] /0 0 0 0
О'
2 G
Vgs
¦VR +
о о
+Eyt',VR
t-2??'
s к
0 0
^ . y~Q~ ^ ~Ь
V Gk
VR + 0-Vw. (5)
Были использованы формулы (3), (4) и (10.7). Двойная сумма преобразуется
к виду
ЕЕ'
s к
е*-е- е.У Gs~Gk
(VGk~VGs)
о о
еье, = -
ЕЕ
s к
е?.?.в..
о о
VGs+V'Gk
и это позволяет объединить суммы в квадратных скобках в (5). Приходим к
искомому представлению конвективной производной
