Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
/7Техр(-^ер'!)), (5.106)
где р{ - собственные значения оператора импульса. Эти собственные
значения дискретны, так как волновые функции должны удовлетворять
периодическим граничным условиям на противоположных стенках полости.
Собственное значение энергии для этого состояния равно р?/ 2М.
Следующие два члена в выражении (5.104) описывают движение электрона
относительно протона. Энергетические собственные функции для этих членов
являются не чем иным, как водородными волновыми функциями. Мы обозначим
их через | тг), при этом энергия каждого состояния равна Еп. Последний
член в гамильтониане (5.104) определяет энергию свободного поля
излучения. Собственное состояние поля, соответствующее энергии n-Jian +
••• + щНь^1 -f- ..., обозначим | nv и2,...,иг,...>. Таким образом,
собственное состояние гамильтониана Н0 можно обозначить
| pi, п, пг, п2,...у,
(5.107)
268 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
причем этому состоянию соответствует собственное значение энергии
+ Еп + И 1^(0! + ... + 71 tH СО; + ... (5-108)
В этом случае уравнения движения для амплитуд вероятностей (5.19)
принимают вид
ih ~Zi (p'v п' Wl' •••' "•) =
= 2 (p',n,n1,...,nh...\H1\p"m,m1,...,mi,...}X
Рг, ш,т,, m,, ...
5, 1
где
X c(p" m, mx,..., mb ...)ега>аь*, (5.109)
ЙсоаЬ =
[^2^f En -[- п11ш1 -f-... -)- nlha>l -f- ...j -
- т1^ы1 + ••• + /га;Йсог -f- ...j , (5.110)
a взаимодействие описывается гамильтонианом Нг = - -у 2 ]/ехР ("'*& +
ехр (- Ш&)] (eia рр). (5.111)
В результате нетрудно вывести закон сохранения импульса, если вычислить
матричные элементы
L
< р\ I Нх I р'> ~ ~ dl ехр [((- -i- *>' + tfc, + -L- р')|)
0
(5.112)
Очевидно, что эти матричные элементы равны нулю всегда, за исключением
случая, когда
- р^ (5.113)
Это равенство и дает как раз закон сохранения импульса системы, состоящей
из фотона и атома. Если матричные
5.7]
ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
269
элементы Н1 равны нулю, то переходы невозможны. Следовательно, для
разрешенных переходов выполняется закон сохранения импульса. Таким
образом, закон сохранения импульса содержится и в квантовой теории ноля.
После этих рассуждений отличные от нуля матричные элементы гамильтониана
Н1 можно записать в виде
\PV п,пи ..., пь ... \ H1\p'z - hk" тп, nv ..., re, 4- 1,...) =
g Г % (и, 4- 1)
= -Т У (5.114а)
(р'%, п, гех, ..., ге,, ... \H1\p'l + Пки m, nv ..., re, - 1,...) =
= - Т ]/г^ (е^-), (5.114b)
где согласно (5.49)
Ptnm = <ге|рр|тге> = ^ (Еп - Em) <л j р J т> (5.115)
(обозначения несколько изменены).
Закон сохранения энергии в такого рода процессах следует как из теории
возмущений, так и из приближения Вигнера - Вайскопфа, которое мы
использовали в теории естественной ширины линии. Таким образом,
объяснение эффекта Допплера содержится и в квантовой теории излучения.
Допплеровское смещение частоты излучения движущегося атома приводит к
дополнительному уширению спектральной линии. Это дополнительное уширение
можно объяснить следующим образом. Импульсы молекул подчиняются
распределению Максвелла. Если газ имеет температуру Т, то вероятность
того, что молекула имеет импульс в интервале от р^ до р? + dp%, равна
ехр(-2mr)dPv <5-116)
Когда такая молекула излучает фотон с частотой ш,, энергия и импульс
системы должны сохраняться. Это налагает определенные ограничения на
возможные
270 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
значения р?. Согласно (5.95) имеем
2^ (/42-/>?) = ? К-о))
(5.117)
(обозначения (5.95) несколько изменены). С другой стороны, возводя в
квадрат соотношение (5.96) и пренебрегая членами порядка 1 / с2, получим
чения. Сравнивая соотношения (5.117) и (5.118), легко видеть, что для
того, чтобы определить интенсивность излучения с заданной частотой оУ,
компоненту импульса щ вдоль направления излучения следует считать
постоянной. При этом компоненты импульса р{, нормальные направлению
излучения к, могут принимать любые значения от - оо до + оо. Таким
образом, интенсивность излучения на частоте (c)' пропорциональна выражению
где Йю0 - Еп - Ет и ю'( - частота излучаемых квантов. Это означает, что
форма спектральной линии при допплеровском уширепии описывается гауссовым
распределением.
Интенсивность излучения также пропорциональна вероятности перехода в
единицу времени из начального состояния, состоящего из атома с импульсом
р?, находящегося в возбужденном состоянии | я), в отсутствие кван-тов, в
конечное состояние, когда атом с импульсом р% находится в состоянии | т.)
и в системе присутствует один квант. Так как матричные элементы (5.114)
не содержат импульса, то интегрирование (5.116) по компонентам импульса
р^, перпендикулярным направлению излучения, несущественно.
Ширина линии, описываемой выражением (5.119), определенная по половине
максимальной интенсивности,
(5.118)
где Рк - компонента импульса р? в направлении излу-
5.8]
РАСПРОСТРАНЕНИИ СВЕТА В ВАКУУМЕ
271
равна
б = (r)о|/^1п2. (5.120)
Несмотря на то, что кТ <^ Мс2, допплеровское уширение оказывается гораздо
