Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
[хи р]] = ihlplr\h (5.47)
получим, что (5.46) переходит в следующее уравнение:
ihW = Я~^ = 1х,На]. (5.48)
Вектор х - v имеет компоненты xt (i = 1, 2, 3), которые
играют роль q в соотношении (1.119). Коммутационные соотношения (1.117)
обобщены на случай трех измерений, так что [qt, pj] = iMtj, [qt, qj\ =
[pt, рД = 0. Таким образом, координаты и импульсы, соответствующие разным
степеням свободы, коммутируют друг с другом. Если вычислить матричные
элементы обеих частей (5.48), то с учетом (5.39) получим
^<s\p\s'> = (ES'-Es)(s\x\s'). (5.49)
Подставляя это в (5.44), получим искомые матричные элементы
<s; пг,..., щ,... и15..., щ + 1,...) =
_ ie (Es - Es,) f h | Yni + 1 exp (iktr) (elax88-),
П ]/ 2шгВоТ j-j/^ exp (-iktr) (eiaxss-),
(5.50)
где
*ss' = <s | sc | s'). (5.51)
Величина exss- называется электрическим дипольным моментом атома,
соответствующим переходу между состояниями | s) и | s'), а величина ех88
называется дипольным моментом состояния | s>.
5.4]
ПОГЛОЩЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМОМ
251
Так как собственные энергии начального и конечного состояний согласно
(5.50) равны
Es + n1h(?)1 + . . . +
(5.52)
Es' -f- WjT/cOj -f- • • ¦ "T (щ + 1)^шг "T • • •>
то для выполнения закона сохранения энергии следует положить
Es - ES'^± Йсог. (5.53)
Эти предварительные результаты можно применить к теории поглощения фотона
атомом, которую мы рассмотрим ниже, и к теории излучения, которая будет
рассмотрена в следующем разделе.
<<Ф. Г , ~\
|а> Ja>
\ьу - I ь)л
a) fy
Рис. 6. Схематическое представление однофотонного поглощения
атомом.
Пусть атом, обладающий двумя энергетическими состояниями, первоначально
находится в нижнем состоянии | by.
Предположим также, что на этот атом падают п1а квантов с поляризацией о,
импульсом Нк1 и энергией Й<щ. Если один квант поглотится, то атом
перейдет в возбужденное состояние | а}. Эти состояния, начальное и
конечное, схематически показаны на рис. 6.
Матричный элемент (5.50) для процесса поглощения определяется
соотношением
п," hw,
| </1 #! I "> I2 = -2ZJT I хаъ) I2, (5.54)
где мы использовали закон сохранения энергии (5.53) и положили Z3 = т.
252 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
В общем случае пучок фотонов может не быть строго монохроматическим. Он
может иметь некоторое частотное распределение. Нас интересует полная
вероятность поглощения падающих фотонов за секунду, если их частота лежит
в интервале между сщ и юг + В связи с этим в (5.37) мы должны подставлять
р (Et), а не р (Ef) (см. задачу 5.2), где р (Et) dEt - число падающих
фотонов с энергией между Ei и Ei + dEi, поляризацией ст и в телесном угле
dQ вблизи направления А/г. Так как
Ei = = ficki,
то согласно (4.116) получаем
p(Ei)dEi = dN = -^dEidQ^= (5.55)
и, следовательно,
Р (5.56)
Золотое правило (5.37) утверждает, что полная вероятность поглощения за
секунду фотона с поляризацией ст, энергией в интервале между Й(ог и h (оц
-|- dcot) в телесном угле dQ вблизи направления fe; оказывается равной
1 </! #i I i> I2 р (Е{) = ± JL | (ега хаЪ) I2 ^5- , (5.57)
если учесть соотношения (5.54) и (5.56). Последний множитель может быть
выражен через интенсивность падающего излучения следующим образом.
Число типов колебаний в рассматриваемой полости, приходящихся на телесный
угол dQ, определяется соотношением (5.55). Плотность энергии данного типа
колебаний, т. е. плотность энергии фотонов, приходящаяся на один тип
колебаний, из (5.55) равна
йсогпм _____энергия_________________ ,г ,-г,.
La объем/тип колебания ' \ • /
Эта энергия распространяется со скоростью с, так что через единицу
площади в секунду в частотном интервале do*
5.4]
ПОГЛОЩЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ АТОМОМ
253
проходит энергия
Н(й.п,"
/0(сог)йсог = -y^cdN =^dQd^. (5.59)
Подставляя это в (5.57), получим для вероятности поглощения за секунду
фотона с заданной поляризацией и т. д. следующее выражение:
w = wVit1 (е'° I'7" ("")• (5'6°)
Поглощаемая мощность оказывается равной
Р = %Щш = -|-j/'y-е21 (ега хаЬ) |2 юг/0 (со,). (5.61)
Так как обычно падающее излучение бывает не поляризовано, то выражения
(5.60) и (5.61) следует усреднить по всем направлениям поляризации
относительно ди-польного момента атома хаъ- Если хаъ направить вдоль оси
z, то
| {егахаЪ) |2 = | asab|2cos20 =
2 П П
^ ^ cos2 0 sin 0 d0
J J I v 12
= I *ab I2 ^Ц , (5.62)
где 0 - угол между хаь и осью е1а. Соответственно средняя по всем
поляризациям поглощаемая мощность равна
Pabs = -у ]/" у (r)До ((r)г) = Ьщтлabs. (5.63)
Для того чтобы вычислить хаЬ, нужно знать волновые функции атома в
состояниях | а} и | &) (см. задачу 5.3).
Таким образом, в этом разделе мы показали, что из теории квантованных
полей следует теория поглощения фотонов.
254 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
5.5. Индуцированное и спонтанное излучение возбужденного атома
Атом, первоначально находившийся в возбужденном состоянии | а), может
спонтанно совершить переход в более низкое состояние | Ъ), испустив фотон
с энергией
