Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
времени, за исключением смещения частоты Дм. В течение некоторого малого
времени (у?<С 1) вероятность того, что система остается в исходном
состоянии | ?), согласно (5.86) практически равна единице. Спектральный
состав излучения, испущенного в это время, зависит от того, когда
производится измерение этого излучения, и, очевидно, не определяет
истинной формы спектральной линии.
Для того чтобы получить уверенные результаты измерения энергии электрона,
следует подождать достаточно долго (у?.Д> 1), чтобы быть уверенным, что
переход уже произошел. В этом случае согласно (5.89) имеем
I С> ^ I2 = - Дт)3+(Т/2)2] ' .
где
Ткoft = Еа - Еь - % т == % (мо - юг). (5.92)
Частота излученного фотона не имеет определенного значения, и
спектральная линия имеет естественную ширину у. В то же самое время центр
спектральной линии смещен на величину Дсо. Про спектральные линии,
имеющие такую форму, говорят, что они обладают лоренцевским уширением.
Как уширение линии, так и сдвиг частоты возникают вследствие обратного
действия излученного поля на атом. Эти эффекты являются следствием
нулевых флуктуаций поля. При любом процессе, когда одна система слабо
связана с большим числом других систем, будет возникать уширение
спектральной линии и смещение частоты. Примеры таких процессов будут
рассмотрены в гл. VII при изучении модели мазера и аттенюатора. Там снова
понадобится использовать приближение Вигнера - Вайскопфа.
5.7. Эффект Допплера [24]
Хорошо известно, что при движении источника частота излучаемого им
электромагнитного поля изменяется. Этот факт объясняется волновой теорией
света. Его можно очень просто объяснить также и с помощью квантовой
теории, в которой он является следствием законов сохранения энергии и
импульса.
5.7]
ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
265
Когда атом, первоначально находящийся в покое в состоянии | а>, переходит
в состояние | Ь), то он излучает квант света с частотой
со = (5.93)
и импульсом Тгк = Ттк/с.
Теперь предположим, что атом массы т, находящийся в возбужденном
состоянии | а), движется с нерелятивистской скоростью v. Начальная
энергия равна
Ea+-^-mv2. (5.94)
В некоторый момент времени атом переходит в состояние | by, излучая квант
с частотой со'. При этом атом испытывает отдачу, что приводит к изменению
его скорости. Теперь энергия атома оказывается равной Еь + -у- mv'2.
Согласно закону сохранения энергии имеем
Паз' = [Еа + mv2 j - [Eb + mv'2 j =
= Йсо -(- ~ m (v2 - v'2). (5.95)
Излученный квант имеет импульс Tik' = Йсо'к'/с. Если импульс системы
сохраняется, то
mv' = mv- -у-к'. (5.96)
Возводя равенство (5.96) в квадрат и пренебрегая членами порядка Не2,
получим
-g- g -h&cosv, (5.97)
где й - угол между v и направлением движения излученного кванта.
Подставляя это соотношение в выражение (5.95) и разрешая полученное
уравнение относительно со', находим
со' = ю (Ч -1-v- cos й|
(5.98)
266 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
Это выражение совпадает с нерелятивистским выражением для эффекта
Допплера, полученным на основе волновой теории света.
В гл. IV было показано, что в свободном пространстве кванты света ведут
себя подобно частицам, обладающим энергией и импульсом Tmjc. Однако
возникает вопрос: имеют ли место законы сохранения энергии и импульса,
когда поле взаимодействует с атомом? Для ответа на этот вопрос рассмотрим
водородный атом, состоящий из протона с зарядом + е, массой тр и
координатами хр и электрона с зарядом - е, массой те и координатами хе.
Согласно формуле (5.2) нерелятивистский гамильтониан атома и поля
излучения имеет вид
Я = "?г + + eV (I хр ~ ж* I) +
Р е
+ 'У, fia>ia^aia - -- (А (хр) Р]) + - (А (хе) р2). (5.99)
1,0 р
Очевидно, что в гамильтониан (5.99) входят два значения векторного
потенциала, соответствующие положению протона и положению электрона. Нам
необходимо рассмотреть главным образом атомное ядро, так как в основном
оно и испытывает отдачу. Эта отдача и позволит объяснить эффект Допплера.
Введем новые переменные. Пусть
? - Р Р 1 е
+ т р 1 е
- координаты центра масс атома и
р = (Хр - хе) (5.101)
- относительные координаты двух частиц. Обобщенные импульсы, сопряженные
переменным % и р, будут в данном случае выражениями вида
= (5.102)
где М = тр + т" - полная масса атома и р = = тетР! М- приведенная масса.
(5.100)
5.7]
ЭФФЕКТ ДОППЛЕРА
267
Как обычно, предположим, что длина волны излучения велика по сравнению с
размерами атома. Тогда в гамильтониане в члене, описывающем
взаимодействие, переменные хр и хе можно заменить на %, т. е. считать
поле в атоме постоянным и равным полю в центре масс атома. В этих
переменных гамильтониан (5.99) примет вид
Н = Н0 + Нг, (5.103)
где
2 2
H° = Sr+it + eV (р) + 2 (5.104)
г, о
(5.105)
Первый член в 110 описывает свободную частицу с массой М и импульсом р ,
точнее, движение ее центра тяжести. Если мы пользуемся нормировкой по
объему полости (см. [4], стр. 66), то собственные функции этого
гамильтониана имеют вид
