Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
оказывается слабо связанным со многими электромагнитными осцилляторами,
частоты которых приближенно равны атомной частоте. В результате этого
атомный резонанс расширяется в полосу. В этом случае говорят, что
спектральная линия атома имеет некоторую конечную ширину или что она
однородно уширена.
Наличие естественной ширины липии можно доказать, исходя из соотношения
неопределенностей
АЕ At " П. (5.70)
Это соотношение утверждает, что для измерения энергии атома с точностью
до АЕ необходимо время A t. Возбужденный атом спонтанно излучает энергию
и переходит в нижнее состояние. Для измерения энергии нужно, чтобы атом
сделал переход в нижнее состояние, и поэтому, если в среднем атом до
излучения остается в верхнем состоянии в течение времени т (эта величина
называется временем жизни), то для измерения энергии необходимо
время не
меньше т. Таким образом, согласно (5.70) энергия может
быть измерена с точностью до величины
А Я~4-, (5.71)
258 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
которая и является естественной шириной линии. Ниже мы покажем, что
величина 1/т примерно равна вероятности перехода в секунду при спонтанном
излучении.
В разделе 5.3 мы указывали, что теория возмущений, зависящих от времени,
справедлива лишь при достаточно малых временах, когда начальное состояние
мало изменяется в процессе взаимодействия. С другой стороны, если мы
измеряем расстояние между уровнями первоначально возбужденного атома, то
для такого измерения состояние атома должно измениться. Иными словами, мы
должны ждать столько времени, чтобы состояние атома изменилось
значительно. Отсюда мы делаем вывод, что теория возмущений к данному
случаю не подходит, и предлагаем другой приближенный метод решения
уравнений (5.19). Этот метод называется приближением Вигнера - Вайскоп-фа
[28].
Бесконечная система уравнений (5.19) является точной и эквивалентна
уравнению Шредингера в представлении взаимодействия. Согласно Вигнеру и
Вайскопфу, мы должны сделать упрощающее предположение, состоящее в том,
что при матричном умножении на правую часть уравнений (5.19) следует
принимать во внимание лишь два состояния: начальное состояпие | ?> = | а,
0), которое содержит атом в возбужденном состоянии и не содержит фотонов,
и конечное состояние | /) = | b, 1), которое содержит атом в
иевозбужденном состоянии и один фотон. Эти состояния в виде диаграммы
представлены на рис. 7.
Так как излученный фотон может иметь набор частот,
а также различные направления распространения и поляризации, то система
(5.19) при указанных предположениях принимает следующий вид:
ib^f = 0\H1\i>ci(t)ei°>f", (5.72а)
dc* " а • j
** sr = S <Ц I />(<) е~ган. (5-72Ь)
/
где
ЙСОу; = Еъ + ЙСО; - Еа = Тъ (о); - со0),
Еа и Еь - энергии состояний атома, Йсог - энергия излученного фотона.
Пренебрежение не равными нулю ма-
0.6] ТЕОРИЯ ЕСТЕСТВЕННОЙ ШИРИНЫ ЛИНИИ ИЗЛУЧЕНИЯ 259
тричными элементами, связанными с другими состояниями, не может быть
обосновано на данном этапе. Мы знаем, что при слабой связи атома с полем
излучения не следует ожидать рождения нескольких фотонов, но это не
обосновывает указанного пренебрежения. По существу, лишь согласие с
экспериментом является обоснованием уравнений (5.72).
Так как начальное состояние имеет конечное время жизни, то в качестве
исходного нельзя брать состояние при t - - оо, так как в этом случае
трудно ждать полезной информации при t = 0. Вслед за Вигнером и Вайс-
копфом предположим, что взаимодействие атома с полем излучения может быть
включено при t = 0, когда система находится в определенном состоянии, т.
е. мы предполагаем, что при t = 0
ci (0) = 1, cf (0) = 0 для всех /. (5.73)
Уравнения (5.72) описывают переходные процессы, вызванные "включением"
взаимодействия при t -¦-¦= 0, которые очень чувствительны к выбору
начальных условий (5.73). Поэтому решения, полученные при начальных
условиях (5.73), будут описывать реальный процесс лишь после того, как
эти переходные процессы затухнут.
Найдем решение системы (5.72) при условиях (5.73). Проинтегрируем (5.72а)
и подставим полученное уравнение в (5.72Ь). В результате получим
t
с> (0 = 7S-</ljy1lf>SCi (*') e<W,it'dr' <5-74а)
0
^1Г = - 7F2i<^il*>l2$e{M/i(,'~0 "(*')*'. (5-74ь)
1 о
(Мы воспользовались соотношением (i \ Нх \ fy =
= </ | Н1 | г>* из гл. I, которое справедливо в силу эрми-
товости Н±.) Уравнение (5.74Ь) является интегро-диффе-ренциальным
уравнением относительно ct (t) и может быть решено с помощью
преобразований Лапласа. Пусть
О"
a (S) = $ е-' а (<) dt = L {а (*)}. (5.75)
о
260 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
Отсюда в силу условий (5.73) следует, что
(5.76)
jj e-х a(t')dt'jdt =
0 0
= ^ ct (tr) dt' ^ e_(s+i"/г), dt e+iш/i^, = ¦ • (5.77)
Подставляя эти соотношения в (5.74), получим
Для того чтобы найти сг- (г), нужно совершить обратное преобразование
Лапласа над соотношением (5.78). Из теории преобразований Лапласа
известно, что такое преобразование определяется следующим интегралом
