Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
[29]:
где переменная s считается комплексной в подынтегральном выражении, а е -
малое действительное положительное число; путь интегрирования считается
параллельным мнимой оси. Так как вычислить точно этот интеграл не
удается, то следует сделать некоторые приближения.
Прежде всего заметим, что в отсутствие взаимодействия атома с полем
излучения (Н1 = 0) ct (t) имеет вид
Подынтегральное выражение имеет простой полюс при s = 0. Интеграл
вычисляется с помощью теории вычетов, и в результате получаем сг (г) = 1.
Таким образом, в от-
е+гоо
5 .6] ТЕОРИЯ ЕСТЕСТВЕННОЙ ШИРИНЫ ЛИНИИ ИЗЛУЧЕНИЯ 261
сутствие взаимодействия начальное состояние системы не меняется.
Прежде чем сделать приближенные предположения, заменим переменную
интегрирования. Пусть
s = е + iy.
Тогда (5.79) принимает вид
-{-оо
1 С ег( eiyt dy - оп\
Ci(t) = ш ) ------------i-----г&ттг-гтгт,.. (5.80)
¦ ,) . А yi I V I J-?11г
-оо У-l 8- Rt 2,' у + С0Я - ?б
Рассмотрим теперь член, описывающий взаимодействие, в знаменателе
подынтегрального выражения. Если конечные состояния распределены с
плотностью р (соf)d(ot, то суммирование можно заменить интегрированием. В
результате получим
1 уП </1 #11 "•> |2 ; +f THd0>f (58Ы
2л у + а> . - 18 ' со, - ш{ + у - ге ' * '
/ -оо
где соп - u>f - со, = со/ - со" и
Гн = ^|</|Я1|г>ГрЫ. (5.81Ь)
Пределы интегрирования оказалось возможным расширить до бесконечности
потому, что подынтегральное выражение имеет острый максимум при <щ = со,-
- у. При этом функция Г/г предполагается медленно меняющейся функцией
со/. (Величина е считается малой и положительной.) Из теории комплексных
интегралов известно [25], что если / (х) - регулярная функция, не имеющая
полюсов при х = а, то
I ~ " {+S (")• (5-82)
-ОО -оо
где 5s означает главную часть интеграла в смысле Коши и определяется
соотношением
+оо а-р. оо
зл г шм=Итг с /_м*+ с aw
I J х - а\ L х - а } х - а \
-ОО -оо
при условии, что предел с правой стороны существует.
262
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
Используя эти результаты и учитывая произвольность е, выражение (5.81а)
можно привести к виду
+ СО р ^
1=- 551S _ ЫГн (с0/=_ у)'(5-81с)
-со ^
если, конечно, функция Гр- регулярна (иногда это бывает не так).
Если действительная и мнимая части I малы, то у можно заменить величиной
г'е, которая может быть сколь угодно близкой к нулю. Это является
следующим приближением к с( (г). Если теперь ввести обозначения
ТГ = ж I </ I Нг 10 I2 Р К) Ц="4 > (5-83)
*¦-ИТ^-^Г'Ь <5-84)
-оо
то в первом приближении (е -"¦ 0) для выражения (5.80) получаем
S у + C-i (Т/2) = 6ХР (- 1Г - 1 ЛЫ) ¦ (5-85)
- ОО
Теперь мы видим, какое предположение необходимо сделать для того, чтобы
перейти от выражения (5.80) к выражению (5.85). Мы знаем, что величина
| c{(t) |2 = e~Yl (5.86)
равна вероятности найти атом в его исходном состоянии через промежуток
времени t. Поэтому величина у-1 является временем жизни атома в исходном
состоянии. Из физических соображений ясно, что должно выполняться условие
(5-87>
т. е. время жизни атома в возбужденном состоянии должно быть велико по
сравнению с периодом обращения электрона в атоме на его орбите. Более
того, согласно (5.83) величина у имеет смысл лишь при со/^с*),.
Следовательно,
5.6] ТЕОРИЯ ЕСТЕСТВЕННОЙ ШИРИНЫ ЛИНИИ ИЗЛУЧЕНИЯ 263
на самом деле предполагается, что
г = -^ | </1 ях I i> |2 Р К) |в/= * ощ (5.88)
где со* - частота испускаемого фотона. При таком предположении полюс в
выражении (5.80) будет очень близок к значению у = 0.
При сравнении выражений (5.88) и (5.37) можно видеть, что величина у в
точности равна полной вероятности перехода системы в одно из совокупности
ее конечных состояний в единицу времени. При этом величина т = Ну
определяет время жизни исходного состояния.
Величина Асо в выражении (5.85) физически соответствует сдвигу частоты
излучения и определяет так называемое лэмбовское смещение частоты
излучения. Вычисление величины Дсо по формуле (5.84) представляет собой
трудную задачу, которой мы не будем касаться.
Для промея^утков времени, когда справедливо выбранное нами приближение
(т. е. когда переходные процессы закончились), можно вычислить амплитуду
вероятности конечного состояния. Для этого следует выражение (5.85)
подставить в формулу (5.74а); получим
<'> " - - Я. (5-89)
Для моментов времени, удовлетворяющих неравенству yt<&J 1> вероятность
обнаружения атома в нижнем состоянии после испускания одного фотона равна
I С, (t) I2 = 4 I </ 1 Hl l*> I2 4in2
1 №• [(св/{ - Асо)2 + (т/2)2] 2
Если это выражение просуммировать по конечным состояниям (см. переход от
(5.33) к (5.37) и (5.55)), то полная вероятность излучения одного фотона
в телесный угол окажется равной
21 с, (1) Г" 2я<1 <('"¦,1'>Г " Ш;ав. (5.90)
t
где /Ш; = Еа - Еь - Дсо - энергия испускаемого фотона. Этот результат
почти в точности совпадает с тем,
264 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
который получается из теориивозмущений первого порядка, зависящих от
