Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
Гамильтониан магнитного диполя jut, находящегося в магнитном поле II,
имеет вид
Н = - (|х II). (5.140)
Для электрона со спиновым моментом 1/2 % магнитный момент равен
где у - гиромагнитное отношение, а ах, оу, oz - спиновые операторы,
введенные в разделах 2.6 и 3.8. Выберем магнитное поле Н в виде
// = (Я.содсог, ^sincot, н0), (5.142)
где Н0 - постоянное магнитное поле, направленное вдоль оси г, и ffj -
высокочастотное циркулярно поляризованное поле. Тогда, используя
соотношения (5.140) и (5.141),
278 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
приходим к гамильтониану вида
Я = -у [H0az -f Нх {ах cos оit -\- оу sin &)?)]. (5.143)
Если ах и о у выразить через о+ и а_ (см. (2.79)), то гамильтониан Я
можно привести к виду
Я = -у- [Я0с2 + Нх (a+e~iwl + a_eiwf)]. (5.144)
Уравнение Шредингера
H\^(t)) = ih Э|У)>- (5.145)
с таким гамильтонианом может быть решено точно. Если Нх - О, то согласно
разделу 2.6 собственные значения оператора oz равны + 1 и соответствуют
стационарным состояниям |+1). Таким образом, собственные значения энергии
невозмущенного гамильтониана равны
Е± = ±-^~, (5.146)
где
соо = УН0. (5.147)
Общее решение уравнения (5.145) при Нх = 0 согласно разделу 2.8 имеет
следующий вид:
| ф(?)) = c1e~i""V21 + 1) -Т сае'"°(/21 - 1), (5.148)
где | сх I2 - вероятность того, что величина oz находится в состоянии
| + 1), и | с2 |2 - вероятность того, что эта
величина находится в состоянии | - 1). Условие нор-
мировки на единицу требует, чтобы выполнялось равенство
К I2 + I Г'2 |2 = 1. (5.149)
Используя соотношения (2.97), (2.100) и соотношения ортогональности,
можно показать, что для |ф (ф, определяемого формулой (5.148), имеют
место равенства
(ахУ = cxc2eiu>ot -|- схс2еЧш°1,
<ay> = - i (с*хс2е(tm)°1 - схс2е-(tm)°1),
<0 = I ci I2 - I сг I2, (5.150)
<а+> = схс.2е1ш"1,
<а_) =
5.9] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО СПИНОВОГО РЕЗОНАНСА 279
Таким образом, ожидаемое значение oz постоянно, а ох и о у прецессируют
вокруг оси z и при этом ( о )2 + (сг">2 =
= 4|cj I 2k2 I2-
Если Н1 =f= 0, то Нх мы можем рассматривать как возмущение, вызывающее
переходы между состояниями | + 1) и | - 1). Однако с помощью простого
преобразования можно прямо получить решение уравнения (5.144). Пусть
|Ф(г)> = <г^/2|Х(0>. (5.151)
Это преобразование не является преобразованием к представлению
взаимодействия. Подставляя формулу (5.151) в уравнение (5.145), в котором
Н определяется с помощью (5.144), получим следующее уравнение для |
%(?)>:
1 д 1д1Ф = "Г {("о ~ to) az + [<Н"(<3+ (0 + еШа- (01} X
Х|х(0>. (5.152)
где
a±(t) = еШа*/гв±е-ш°*12. (5.153)
Согласно теореме 13 гл. III (см. (3.169)) при \ - гсо? имеем
б±(0 = <з±е±"+ (5.154)
Подставляя это соотношение в уравнение (5.152), приходим к уравнению, не
содержащему явной зависимости от времени:
* 91 д!Ф' = 4~ Км<> ~ ю)+ rHl (б+ +б-)1 |Х(0>- (5.155)
В этом уравнении операторы а± и az соответствуют шре-
дингеровскому представлению. Если бы мы воспользовались представлением
взаимодействия, то гамильтониан зависел бы от времени явно. Теперь можно
сразу найти решение уравнения (5.155). Для этого введем обозначения
й cos 0 = ю0 - со, й sin 0 = уНи (5.156)
где
Й2 = (со - со0)2 + (у/Д)2,
280 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
и воспользуемся соотношением (2.79). Тогда формальное решение уравнения
(5.155) имеет вид
|Х(0> = ехР (- -^-(cos03z ф- sin Go*) j |ф(0)>. (5.157)
Воспользуемся теоремой 14 гл. III (см. (3.178)), в которой положим | = -
1/2tQicos0 и ц = - 1/2tQfsin0. Тогда для | ф (г)> получим выражение
|ф(2)> = е 1 2 ^J^cos-^ isin-^-(cos0az +
+ sin 0 <зх)] | ф (0)> = U (t, 0) [ ф (0)>. (5.158)
Это выражение определяет полное решение уравнения Шредингера с
гамильтонианом (5.144).
Так как состояния | + 1) и | - 1) представляют собой полную систему, то
функцию | ф (t)) можно разложить по этой полной системе функций точно так
же, как это было сделано в (5.148). Однако теперь коэффициенты сг и с2
будут функциями г. Таким образом, величины
К (t) I2 = I < + 1 I Ф (*)> I2, I с2 (г) |2 = | <-1 | Ф(г)>|2
(5.159)
дают вероятности обнаружения спина в момент г соответственно в состояниях
|+1> и | -1>.
Пусть, например, первоначально система находится в состоянии | ф (0)> = |
-|-1>. Воспользовавшись соотношениями (2.97), (2.100) и (5.158), легко
получаем
|c2(O|2 = sin20sin2-|i-. (5.160)
Эта величина дает вероятность того, что спин, находившийся при
t = 0 в состоянии |+1), будет в момент вре-
мени t в состоянии | -1>. Подставляя вместо 0 и ?2 их значения (5.156),
получим
Ы'>1* = (.-ffjW -"¦->¦+ w)-
(5.161)
Вероятность | сх(г) |2 определяется из условия нормировки | Cl (t) |2 = 1
- | C2 (t) I2. (5.162)
5.0] ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОННОГО СПИНОВОГО РЕЗОНАНСА 281
Если первоначально система находилась в состоянии | -1), то вероятность
обнаружить систему в момент времени t в состоянии | +1) также дается
выражением
(5.161). Поэтому вероятности излучения и поглощения фотонов равны друг
другу.
Вероятность перехода (5.161) приближается к единице лишь вблизи
