Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
при взаимодействии одноэлектропного атома с квантованным электромагнитным
полем. Теперь достаточно только решить уравнение (5.9). Так как точно
этого сделать нельзя, то следует воспользоваться теорией возмущений.
5.3. Теория возмущений, зависящих от времени
В этом разделе мы рассмотрим обычную теорию возмущений. В дальнейшем мы
будем часто использовать ее.
Запишем гамильтониан системы в виде
(5.8)
(5.9)
Н = Я0 + Ни где Нг - малая поправка к Н0.
(5.10)
5.3] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ 241
Для наших целей членом второго порядка в (5.2) можно пренебречь. Он
играет важную роль в теории дисперсии и комптоновского рассеяния. Однако
в данной книге мы не будем рассматривать эти эффекты.
Полное уравнение Шредингера с гамильтонианом (5.10) имеет вид
й *ШЭ> = (Я0 + Я,) | *(!)>. (5.11)
Сначала мы рассмотрим уравнение Шредингера для невозмущенной задачи:
"й^^- = Я"|ф(<)>. (5.12)
Так как по предположению гамильтониан Н0 не зависит от времени, то
решение этого уравнения можно записать в виде
| Ф (*)> = ехр |-| ф (0)>. (5.13)
Обозначим полную систему ортонормированных векторов состояния
невозмущенной системы через { | /г)}, где | /г) - собственные векторы
оператора Н0:
Н0\п} = Еп\п}, (п | т} = бп,". (5.14)
Числа Еп суть собственные значения оператора Я0. Начальное состояние | ф
(0)) можно разложить по полной системе векторов { | /г)}:
|ф(0)>=2*п(0)|га>. (5,15)
П
Согласно формулам (5.14)
ехр (- "Г Н°*) 17г> = ехр (- ~Т Ent) I ге>-
Отсюда и в силу соотношения (5.15) сейчас же следует, что наиболее общее
решение уравнения (5.12) имеет вид
I Ф (*)> = S °п ехр (" ТГ Еп *) I "> • (5Л6)
П
242 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
Согласно общей теории гл. I вероятность обнаружить при измерении
состояние | п> равна |сп (0) |2 = \ (п | ф (г)> |2. Величины сп (0)
называются амплитудами вероятности. Если состояние | ср (t)} нормировано
на единицу, т. е. <Ф (t) I ф (г)> = 1, то
2К(0)|а = 1, (5.17)
П
ибо система обязательно находится в одном из возможных состояний.
Возвращаясь к уравнению Шредингера вида (5.11), мы можем решение | а(з
(г)> разложить по полной системе невозмущенных решений:
Ж*)> = 2сп (*)ехр -j-Ent^ | и>, (5.18)
П
где амплитуда вероятности сп (t) уже зависит от времени.
Сделаем предварительно два важных замечания.
1. Вектор состояний | п'у является собственным вектором оператора Н0. Это
означает, что в системе, описываемой гамильтонианом Н0, состояние,
возникшее в какой-то момент времени, не изменяется до тех пор, пока на
него не воздействует какая-либо внешняя сила. Поэтому амплитуда
вероятности сп (0) состояния | ср (г)> системы с гамильтонианом Н0 не
зависит от времени. Под действием внешней силы, например Нг, состояние
системы Н0 будет изменяться. Внешнее воздействие Нг вызывает переходы
между состояниями певозмущенной системы. В результате этого амплитуды
вероятностей состояний оказываются зависящими от времени.
2. Несмотря на то, что разложение (5.18) справедливо при произвольном
значении гамильтониана Нг, оно оказывается весьма неудобным при значениях
Нг, сравнимых с //", ибо в этом случае ряд (5.18) слишком медленно
сходится, поэтому его очень трудно использовать на практике.
Теперь определим коэффициенты сп (t)¦ Для этого подставим разложение
(5.18) в уравнение (5.11). Учитывая соотношения (5.14), получим
-j
ih2~^ехр(-~wEmt) Im>= '2iH^\s'>e л 8
rn 9
5.3] ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ВРЕМЕНИ 243
Умножая обе стороны этого равенства слева на (п | и используя
ортонормированность состояний, получим, что коэффициенты разложения
(5.18) должны удовлетворять системе связанных уравнений
дс ¦ ,
ih ~dt~= 2 <п Iя! Ie'M,ls Cs (5-19)
s
где
""з = • (5.20)
Уравнения (5.19) являются точными уравнениями. Они образуют бесконечную
систему связанных уравнений для амплитуд вероятностей сп (l). Эта система
эквивалентна исходному уравнению (5.11). Матричные элементы (п | Н1 | s)
характеризуют энергию возмущения. Они вычисляются с помощью собственных
векторов состояний невозмущенного гамильтониана.
Для решения этих уравнений необходимо использовать приближенный способ.
Обычно при таком способе решения встречаются два случая. Их можно описать
следующим образом. Пусть член взаимодействия пропорционален некоторой
константе взаимодействия, которую мы обозначим через к. Когда мы имеем
дело с взаимодействием электрона с полем (5.6), то эта константа
пропорциональна заряду электрона е. Внешнее воздействие возмущения может
осуществляться в течение интервала времени t, малого по сравнению с
временем l/к. В этом случае бывает весьма удобным разложение решений в
ряд теории возмущений по степеням величины kt. В другом случае, когда
внешнее воздействие возмущения длится в течение интервала времени,
большого по сравнению с i/к, ряд по степеням величины kt сходится слишком
медленно. В этом случае используется другой способ приближенного решения,
который называется приближением Вигнера - Вайскоп-фа и который мы
