Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
квантования полей.
Уравнения Максвелла с источниками в системе единиц МКС имеют вид
div В = 0, (4.156)
rot jE? = -, (4.157)
divD = p, (4.158'\
rot (4.159)
где
В = ц0 II, D = е0Е. (4.160)
Заряды и токи должны удовлетворять уравнению непрерывности
div/+-!?¦ = О, (4.161)
где J" и р - функции г и t. Уравнение непрерывности легко получить из
уравнений Максвелла, если взять дивергенцию от обеих частей соотношения
(4.159) и в полученное равенство подставить (4.158). Как и при отсутствии
источников, уравнения (4.156) и (4.157) обращаются в тождества, если
ввести векторный А и скалярный V потенциалы по формулам
В = rot А, (4.162а)
Е = -¦ - grad V. (4.162Ь)
В силу градиентной инвариантности уравнений Максвелла мы примем
кулоновскую калибровку потенциалов
4.9] ПОЛЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ИСТОЧНИКОВ
231
поля:
div А = 0. (4.163)
Эту калибровку мы использовали и для поля в отсутствие источников.
Однако теперь, когда р и J не равны нулю,
мы уже не можем считать, что скалярный потенциал
7 = 0.
Если соотношения (4.162а) и (4.162Ь) подставить в уравнение (4.159) и
воспользоваться равенством (4.163), то мы получим вместо волнового
уравнения (4.56) уравнение вида
о , 1 д3А т /1 ЗУ \ // л а/\
V - - -ЩГ = - Ро* + V (- Й-) • (4.164)
Если подставить (4.162Ь) в уравнение (4.158) и воспользоваться
соотношениями (4.160) и (4.163), то для потенциала V получим уравнение
Пуассона
у27 = - р/е0. (4.165)
Мы считаем р и J заданными функциями координат и времени. Тогда потенциал
V определяется хорошо известным соотношением
(4Л66)
где dx' = dx'dy'dz .
Из векторного анализа известно, что любой вектор А может быть разложен на
две компоненты:
А = АТ + АЬ. (4.167)
Мы назовем их соответственно поперечной и продольной компонентами, так
что
div J.T = 0, rot = 0. (4.168)
Поскольку div А = 0, то согласно выражениям (4.167)
и (4.168) мы имеем, что
div A.L = 0. (4.169)
Если для произвольного вектора С одновременно div (7 = 0 и rot (7 = 0, то
можно считать (7 = 0. Поэтому при
232 КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
кулоновской калибровке
AL = О (4.170)
и векторный потенциал А является чисто поперечным.
На такие же компоненты можно разложить плотность тока
J = J>r + Jb, (4.171)
где
div "Г1 = 0, (4.172а)
rot = 0. (4.172b)
Тогда из уравнения непрерывности (4.161) следует, что div-/L=--g-,
(4.173)
т. е. производная dpIdt вызывает только продольные
токи.
Соотношение (4.172Ь) будет выполнено тождественно, если положить
JrL=Vij), (4.174)
где ф - произвольная скалярная функция, ибо rot grad ф == = 0.
Подставляя (4.174) в (4.173), мы получим
V^ = --g-. (4.175)
Это уравнение Пуассона, решение которого в каждый данный момент времени
имеет вид
¦ (4Д76>
Согласно (4.175) и (4.167) мы имеем
J-L = e0V^. (4.177)
Если соотношения (4.167) и (4.171) подставить в (4.164) и воспользоваться
(4.177), то получим уравнение
("78)
4.10] КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ источников 233
которому должен удовлетворять вектор Ат, если потенциал задан
соотношением (4.166). Таким образом, при ку-лоновской калибровке
потенциалов классические поля должны удовлетворять уравнениям (4.165) и]-
(4.178).
4.10. Квантование поля при наличии источников
Для того чтобы проквантовать поле, мы должны подобрать такой
гамильтониан, который "сводил"бы гейзенберговские уравнения движения для
переменных поля, рассматриваемых как операторы, к уравнениям Максвелла. В
общем случае гамильтониан не обязательно должен совпадать с оператором
энергии. При исследовании эмпирических моделей для нахождения
гамильтониана можно воспользоваться методом "проб и ошибок". При этом
гамильтониан должен быть таким, чтобы для систем, имеющих классический
аналог, гейзенберговские уравнения движения имели такой вид, как
классические уравнения движения.
Так как потенциал V определяется заданным распределением зарядов (4.166),
то его нельзя рассматривать как независимую переменную поля. Поэтому в
квантовой теории V не является оператором поля. Операторами в квантовой
теории будут векторный потенциал А, а также векторы В, Н, D, Е.
Выберем гамильтониан в следующем виде:
Критерием справедливости этого гамильтониана будет правильность уравнений
движения, выведенных из него. Дополнительным соображением в пользу такого
вида гамильтониана может служить тот факт, что первый член этого
гамильтониана представляет энергию поля в отсутствие токов и зарядов,
второй член - энергию взаимодействия поля с токами, а третий член -
энергию кулонов-ского взаимодействия зарядов между собой.
Опираясь на результаты, полученные для полей без источников (раздел 4.7),
мы постулируем следующие коммутационные соотношения в шредингеровском
Н = 4-$ h m+ib- <rot А?]dx -
1
_________г', t)
I r-r' I
dxdx'. (4.179)
234
КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
[ГЛ. IV
представлении:
[Ак (/•), Dj ("•')] = - Шы (г - г'), 4
[A^r), Al(r')\ = [Dk(r),Dl(r')] = О,
где 6Т - поперечная 6-функция.
Мы должны теперь показать, что эти коммутационные соотношения вместе с
