Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
гамильтонианом (4.179) приводят к правильным уравнениям движения.
Как известно, векторы D и А связаны соотношением
radF. (4.181)
Так как потенциал V является в нашей картине с-числом, то с-числом будет
и функция grad V, а поэтому
А (О) = - е<>
Ak(r), At {г') 4 dV{r''t]
дхг
т
= - е0 [Ak(r), Aj (г')] = - imi(r - г'). (4.182)
Так как grad V есть с-число, то коммутационные соотношения для поля без
источников совпадают с коммутационными соотношениями для поля с
источниками. Поэтому при наличии источников мы можем пользоваться
выведенными ранее разложениями для операторов А и А в шре-дингеровском
представлении для случая, когда источники поля отсутствовали. Таким
образом, согласно (4.118а) мы имеем
{г, 0) = 2 ~\/~ ei° [ai°eik'r + ate гк'г}. (4.183)
i, a i о
Производная 4s (г, 0) равна -Ds (г, 0)/е", т. е.
4S (г, 0) = - * SjX""2^ [aioelk'r - ate (4.184)
(см. (4.118b)). При наличии источников величина D определяется
соотношением (4.181), а величина 4S - по-прежнему соотношением (4.184).
4.10] КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ источников 235
Так как коммутационные соотношения одинаковы в гейзенберговском и
шредингеровском представлениях, то легко вывести гейзенберговские
уравнения движения для оператора А (/*, t). Для Ак (г, t) имеем
гй-^ = [А,,Я]. (4.185)
В гамильтониане (4.179) все компоненты А. коммутируют с кулоновским
членом, так как р является с-числом. Аналогично, так как J также есть с-
число, то все компоненты А коммутируют с членом, представляющим
взаимодействие поля с током в гамильтониане (4.179). Так как компоненты А
коммутируют с пространственными производными rot А, то они коммутируют с
членом (rot А)2 в (4.179). Итак, они не коммутируют лишь с членом,
пропорциональным (А)2 в (4.179). В приложении Е будет показано, что
ihA i
'Ak,^(A)*dx] = ihAii. (4.186)
Отсюда можно заключить, что продольная компонента AL = 0, а поперечная
компонента Ат тождественно удовлетворяет соотношению (4.186). Такой вывод
вполне соответствует классическому результату (4.170).
Остальные гейзенберговские уравнения движения можно написать в виде
Ш^ = [Ак,Н]. (4.187)
Легко видеть, что Ак коммутируют со всеми членами гамильтониана (4.179),
за исключением двух слагаемых, которые пропорциональны rot А и (JT, А). В
качестве упражнения предлагаем показать, что
Ак (г), $ ? [rot' А (г')]2] = ihc2V2Aj (г), (4.188)
А (г), J (/ (г'), А {г')) Й т'] = - (#¦). (4.189)
Во всех этих соотношениях подразумевается, что все величины
рассматриваются в один и тот же момент времени. Подставляя соотношения
(4.188) и (4.189) в уравнение
236 КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ [ГЛ. IV
(4.187), мы получим правильное уравнение для поля в виде
(4.178). Тем самым доказана правильность выбора гамильтониана (4.179).
Если разложения полей (4.183) и (4.184) подставить в гамильтониан
(4.179), то он примет следующий вид:
я- 2^ata,.+^Y-TF^d'd''~
I" °
~ ТтГ 2 V"2^7 ^ S (в1°' J ^ eXU]T dx +
1,0
+ at S (el0, J (r))e~ikirdx], (4.190)
Первый член есть уже знакомая нам энергия поля, свободного от источников.
Второй член дает энергию кулонов-ского взаимодействия. Последние два
слагаемых дают энергию взаимодействия поля с током. Гамильтониан (4.190)
зависит от времени через р и /, которые явно зависят от времени.
Операторы же аго и at в шредингеровском представлении от времени не
зависят.
ЗАДАЧИ
4.1. Покажите, что при кулоновской калибровке и в отсутствие источников
поля определяются исключительно векторным потенциалом.
4.2. Используя (4.60) и (4.62), покажите, что нормальные типы колебаний в
полости ортогональны. Обсудите случай вырождения собственных колебаний.
4.3. Проверьте соотношение (4.138Ь).
4.4. Вычислите коммутатор
ID* (г, t), Ву (r\ t')], где t ф t'.
4.5. Докажите соотношения (4.18).
4.6. Вычислите коммутатор [FH (z', t), d/H (z', t)jdz'\, где FH и /н
определяются соотношением (4.41).
4.7. Используя обозначения (4.139) и (4.140), найдите N {7>2}, где N есть
нормальпо-упорядочивающий оператор. Найдите <0 | N {7>2Л 0>, где | 0>-
вакуумное состояние поля. Полученный результат сравните с (4.150).
4.8. Выведите коммутационные соотношения (4.188) и (4.189).
Глава V
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ 5Л. Введение
В дираковской теории излучения атом и взаимодействующее с ним поле
рассматриваются как единая система, энергия которой состоит из трех
частей: 1) энергия атома, 2) энергия поля излучения и 3) небольшая
энергия взаимодействия между атомом и полем.
Если атом и поле излучения взаимодействуют друг с другом, то, очевидно,
необходимо учитывать энергию этого взаимодействия. Это взаимодействие
можно проиллюстрировать на очень простой модели, предложенной Ферми [24].
Рассмотрим маятник с резонансной частотой (о0, соответствующий атому, и
струну, колеблющуюся с частотой си, соответствующую полю излучения. Когда
они не связаны между собой, то они колеблются независимо, и полная
энергия такой системы равна сумме энергий маятника и струны. Если маятник
