Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
резонанса, т. е. в том случае, когда частота приложенного поля равна со =
(о0 = уН0. Вдали от резонанса вероятность перехода, вызванного
высокочастотным полем, пренебрежимо мала.
Прежде чем закончить этот раздел, рассмотрим временную зависимость o+(z)
и az(l)- Для этих операторов можно написать гейзенберговские уравнения
или воспользоваться соотношениями
0?(*)= U-Ht, 0)<slU(t,0),
. (5.163)
a? (t)=U-1(t, 0)a?Z7(/,0),
где U (t, 0) - унитарный оператор, определяемый соотношением (5.158).
Используя результаты раздела 2.8, можно получить эти операторы в
гейзенберговском представлении. В порядке упражнения покажите, что
Qz(t) = (cos2 0 + sin20 cos Qt)az + (sin 0 sin Qt)ay +
+ (sin 20 sin2 Qt / 2)ax. (5.164)
Если при t = 0 | ф (0)> = | +1), то согласно (5.158), (2.97) и (2.100)
имеем
сг>(
| ф(/)> = е 1 2 ^cos_^_ _ i sincos 0)| -f- 1) -
¦ о
- ie 2 sin-^-sin0|-1). (5.165)
Таким образом, ожидаемые значения операторов о+(?) и az(t) равны
соответственно
(ф (t) j a f | ф (/)) = + sin -Щ- sin 0 ^cos +
+ isin-^-cos 0),
(5.166)
<Ф(;) I 1Ф (0) = cos2 -Щ- + sin2 cos 20-
282 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
При резонансе, когда со = со01 9 = л/2, Q = yHv из
(5.166) следует, что
<иж> = sin a0t sin (уН^),
<0J,) = - cos со о ? sin (у#п), (5.167)
<0Z> = cos (yH^).
Таким образом, <0+ и <0y) прецессируют вокруг Нй с частотой сйо> а (йг)
колеблется с частотой уНх. В соответствии с принципом Эренфеста эти
результаты согласуются с классическим поведением магнитного момента в
постоянном магнитном поле и перпендикулярном ему высокочастотном
циркулярно поляризованном магнитном поле. Если Нх <+ Н0, то спин может
совершить много оборотов вокруг направления поля Н0, прежде чем
значительно изменится величина <0Z).
5.10. Влияние соударений на уширение линий двухуровневой спиновой системы
В предыдущем разделе мы предполагали, что взаимодействие спина с полем
продолжается бесконечно долго. В газе при отличной от абсолютного нуля
температуре имеют место хаотические соударения между молекулами, которые
прерывают взаимодействие спина с полем. Этот эффект оказывается весьма
важным в газовых оптических квантовых генераторах, ибо он приводит к уши-
рению спектральной линии. Мы уже изучили два механизма уширения
спектральной линии: естественное уширение линии и допплеровское уширение.
Теперь рассмотрим соударения.
Если соударений нет, то менаду спинами и полем имеет место обмен
энергией. Мгновенное значение потока мощности при таком обмене равно
P(t) = ha 0~§f\c2{t)\2, (5.168)
где | c2(t) |2 определяется соотношением (5.161).
Предположим теперь, что имеют место соударения. Тогда вероятность того,
что за время t не произойдет соударение, равна ехр(-i/T2), где Т2 -
среднее время
5.11J СПИНОВЫЙ РЕЗОНАНС В КВАНТОВАННОМ ПОЛЕ 283
между соударениями. Вероятность же того, что последнее соударение
произошло в интервале времени от t до t + dt, равна
тг бГ'/Га-
Таким образом, средняя мощность переноса энергии от поля к спинам или
обратно равна
оо
о
или согласно (5.161)
р - fagg_(7gi)2_____________\________________ /5 |09)
^ " Т% (и - (Оо)2 + (Т#i)2 + (1 /Гг)2 ' 1 '
Таким образом, в результате уширения из-за столкновений линия спинового
резонанса приобретает лоренцев-скую форму.
5.11. Спиновый резонанс в квантованном поле [30]
В разделе 5.9 мы рассмотрели поведение частицы со спином 1/2,
взаимодействующей с классическим полем излучения, при условии, что
обратным действием частицы на поле пренебрегается.
Сейчас мы рассмотрим ту же проблему, но при условии, что поле является
квантованным и учитывается обратное влияние спина на поле.
Рассмотрим небольшой образец, содержащий частицы со спином 1/2 и
расположенный в таком месте резонансной полости, где магнитное поле
данного типа колебаний имеет лишь одну компоненту, а именно направлено
вдоль оси х.
Как показано в гл. IV, энергия этого типа колебаний поля равна
Д^еы = Наа+а, (5.170)
где со - частота данного типа колебаний.
284 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
Согласно формулам (5.140) и (5.141) энергия взаимодействия имеет вид
= H)dx^rH0-^az+ ^axHxdx, (5.171)
X X
где Но - величина постоянного магнитного ноля, направленного вдоль оси z,
Н х- высокочастотное поле в образце, т - объем образца. Если
воспользоваться соотношениями (4.55) и (4.76) и считать образец малым, то
из выражения (5.171) следует, что
Hlnt = ~-oz +hk(aа+)ох, (5.172)
где к - малая величина, в которую вошли все множители перед оператором ах
в выражении (5.171), которых нет в формуле (5.172).
Так как в силу (2.79) ах = а+ + а_, то мы можем сложить выражения (5.170)
и (5.172) и записать полный гамильтониан в виде
77 = Й со а+а -j- аг -\-hk{a-f а+) (а+ -f б_). (5.173)
Этот гамильтониан можно упростить следующим об разом. Когда к = 0, т. е.
когда отсутствует высокочастотное поле, то временная зависимость
гейзенберговских операторов имеет следующий вид:
a (t) = а (0) е~ш, з+ (t) = а+ (0) eio+,
(5.174)
