Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
состояния оператора Сг *).
Подействуем теперь оператором .^С% на векторы | ф(га, 1)> и | ф(га, 2)>.
Легко получить следующие соотношения:
С2 | ф(га, 1)> = (Zc/n+l sin0п-)-1/2Д(c) cos0П)| га+1,-l>-f -j- (kYп + 1
cos 0" - ЧаДсо sin Qn) \ n, +1), (5.185)
C2 |ф(га, 2)> = (Zc/n+l cos 0n-Ч^Д со sin 0") | ra+1, -1> - - (kYn +1 sin
0" + г/аД cos 0n) | n, +1). (5.186)
*) Состояния | ф (n, 1)> и | cp (re, 2)> гразличны, но собственные
значения Ci одинаковы.
288 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
При выводе (5.185) и (5.186) мы воспользовались равенствами
5+ | П 1, - 1) = YП l|n> "Т 1))
5+1 и, + 1) =0, (5.187)
5_ | п + 1, - 1> = 0,
| п, + 1> = уТ+Т | п + 1, - 1>.
Для того чтобы векторы | ср (/г, 1)) и | ф (п, 2)) были собственными
векторами оператора С2, нужно, чтобы
С2 | ф(п, 1)> = Хп | ф (п, 1)>, (5.188)
С2 I ф (п, 2)> = я;I ф (п, 2)>.
Сопоставляя выражения (5.185), (5.186) и соотношения (5.188), можно
видеть, что при
tg 0" = -ф,у".рДГ и Я" = + /(V2AcdУ + к2 (п + 1)
(5.189)
векторы | ф (п, 1)) и | ф (и, 2)) будут собственными векторами для
оператора С2 с собственными значениями + Я".
Иными словами, %' = - \п. Тогда с помощью простых тригонометрических
преобразований можно получить
,829-.-тЗ?кг-зи^?- <5Л90>
Для основного состояния | 0, -1) имеем
Са|0,-1> = 4р-|0,-1>, (5.191)
и, следовательно, оно также является собственным состоянием оператора С2.
Таким образом, мы нашли собственные значения гамильтониана //, ибо
согласно выражениям (5.179), (5.184) и (5.188) имеем
Н I Ф (п, 1)> = Ыа(п + 1/2) + Яп] | ф (п, 1)>,
II | ф (п, 2)> = Й['о)(п + 1/2) - Я"] | ф(га, 2)> (5.192а)
5.11] СПИНОВЫЙ РЕЗОНАНС В КВАНТОВАННОМ ПОЛЕ 289
и для основного состояния
Я | 0, - 1} = -| 0, - 1 >. (5.192Ь)
Интересно, что собственные состояния гамильтониана Н являются линейными
комбинациями собственных состояний невозмущенпого гамильтониана II0.
Полезно иметь выражения состояний | п, +1) певоз-мущепного гамильтониана
//0 через состояния | tp (п, 1)) и | ф (п, 2)>. Из соотношений (5.182) и
(5.183) следует, что
| п + 1, -1> = cos 0" I ф (п, 1)> - sin 0n I ф (п, 2)>,
(5.193)
| п, +1) = sin 0" | ф (п, 1)> + cos 0rt | ф (п, 2)>
И
<п +1, -1 I ф (п, 1)> = cos 0rt = <гс, +1 I Ф (п, 2)>,
(5.194)
(п, +1 | ф (п, 1)> = sin 0" = - (я +1, - 1 | ф (п, 2)> (п = 0, 1,
2,...,оо).
Вычислим теперь вероятность перехода между начальным состоянием (| п,
+1)), в котором имеется п квантов и спин, ориентированный вверх, и
конечным состоянием (| п +1, -1)), в котором имеется п + 1 квантов, а
спин ориентирован вниз, и сравним результаты с результатами раздела 5.9.
Так как гамильтониан (5.175) явно не содержит времени, то решение
уравнения Шредингера можно записать в виде
|ф(*)> = ехр | "ф (0)>, (5.195)
где в рассматриваемом случае | г|5 (0)) = | п, +1). Вероятность
обнаружить в момент t п + 1 квантов и спин, ориентированный вниз, равна |
(п -f 1, -1 | "ф (г)> | 2. Используя (5.192а), (5.189) и (5.190),
получаем для этой вероятности выражение
| <га + 1, - 11 ехр | п, + 1) |2 = sin2 20n sin2 %nt =
= (А.ГЛ^+1) 5in' (т- ^(Да>' + № (" + D). (5.198)
290 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
С другой стороны, эта вероятность равна вероятности перехода из состояния
| п + 1, -1} в состояние | /г, +1).
Сравнивая этот результат с выражением (5.161) для случая неквантованного
поля, видим, что обе вероятности очень похожи. Квадрат амплитуды
высокочастотного поля Н\ в формуле (5.161) пропорционален числу квантов
поля п. Разница состоит в том, что выражение (5.196) содержит спонтанное
излучение. Его учет привел к тому, что везде п заменялось на (п + 1).
Таким образом, даже если п = 0, спин может опрокинуться и излучить квант,
который потом может быть снова поглощен. Джейнс и Каммингс [30] показали,
что если при полуклассическом рассмотрении учесть обратное влияние спина
на поле излучения, то спонтанное излучение возникает и в полу-
классической теории.
ЗАДАЧИ
5.1. Гамильтониан электрона в кулоновском поле в одпоэлект-ронном атоме
имеет вид
где использованы обычные обозначения. Напишите гейзенберговские уравнения
движения для рн (г) и хн (t). Предположите, что so и р подчиняются
коммутационным соотношениям вида [ij, pj) = t/гбц (г, / = 1, 2, 3).
5.2. Выведите золотое правило Ферми в том случае, когда конечное
состояние дискретно, а начальные состояния образуют непрерывный спектр.
5.3. Оцените индуцированный дипольный момент (5.51) атомного водорода,
соответствующий переходам между Is- и 2s-coctoh-ниями и между Is- и 2р-
состояниями. Волновые функции можно найти в любой книге по квантовой
механике.
5.4. Полная интенсивность излучения изотропного источника может быть
получена интегрированием выражения (5.59) по всем телесным углам и
умножением полученного выражения на 2. Таким образом, получаем /0 =
пйш(r)/'л3с2, где п - среднее число излучен" ных квантов. Вычислите
отношение шаЬб в (5.63) к wsp в (5.09). При каких условиях это отношение
может равняться единице?
