Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
а+ (t) = а+ (0) еш, "а- (t) = а_ (0) e_ico"(.
Следовательно, вблизи резонанса (ш ~ со0) члены аа+ и а+а_ в выражении
(5.173) остаются практически все время постоянными, в то время как члены
ао_ и а+ а+ быстро меняются с частотами + (со + со0)- Для не очень
больших интервалов времени, которые нас только и интересуют, быстро
осциллирующие члены можно в среднем приравнять нулю. Тогда гамильтониан
(5.173) с
5.11] СПИНОВЫЙ РЕЗОНАНС В КВАНТОВАННОМ ПОЛЕ 285
хорошим приближением оказывается равным
Я = 7моа+а + i/24(o.aaz + Нк(а+а_ + ап+). (5.175)
Как известно, линейно поляризованное высокочастотное поле можно разложить
на две ¦*- право- и левоциркулярно поляризованные - компоненты.
Приближение
(5.175) эквивалентно учету лишь той компоненты, которая вращается в ту же
сторону, что и спин. При небольших амплитудах высокочастотных полей
ошибка оказывается незначительной.
Гамильтониан (5.175) эрмитов и учитывает как влияние спина на ноле, так и
влияние ноля на спин.
Теперь задача заключается в решении уравнения Шредингера с гамильтонианом
вида (5.175). Здесь мы приводим решение, принадлежащее Джейнсу и
Каммингсу [30].
Для удобства вычислений введем два новых оператора:
S+ = з+а, S_ = п_а+. (5.176)
В порядке упражнения предлагается, исходя из коммутационных соотношений
(2.80) и [а, а+] = 1, доказать справедливость следующих коммутационных
соотношений для операторов S+:
[а+а, iS+l = -f- S.j-, [az, 5--Д = + 2S4-,
[S+, S_] = + a+aaz. (5.177)
В дальнейшем будет показано, что гейзенберговские уравнения движения для
этих операторов оказываются нелинейными. Два первых интеграла этих
уравнений можно найти, не решая их. Проверкой можно убедиться, что
операторы
(Д = со (а+а + , С2 = к (S+ + S.) ~ ^аг, (5.178)
где Дсо= со - со0, коммутируют с гамильтонианом
(5.175) и потому являются интегралами движения. Из выражений (5.178),
(5.176) и (5.175) следует, что
Я = П(С1 + Сг).
(5.179)
286 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ [ГЛ. V
Таким образом, Сг и С2 не зависят от Н. Используя соотношения коммутации
(5.177), можно показать, что
[Clt С2] = 0, (5.180)
и, следовательно, операторы Сх и С2 по отношению друг к ДРУГУ можно
считать с-числами.
Если взаимодействие спинов и ноля излучения отсутствует, то имеется
полная система базисных векторов: состояния поля излучения | ге>,
удовлетворяющие условию а+а |ге> = п \ п), и состояния спина |+1>, для
которых crz | 4;1> = + I +!)• Эту систему векторов можно использовать в
качестве базисной системы для разложения вектора состояния в интересующей
нас задаче. Нетрудно видеть, что
Ci\ га, zbl) = ю (о^а -)- 1/2ог) | га, + 1/ -
- со (га + 1/2) | п, + 1). (5.181)
Таким образом, оператор Сг имеет собственные значения со(ч + */2) и
собственные векторы | п, + 1), и, следовательно, этот оператор диагоналей
в этом представлении. Оператор С2 не диагоналей в этом представлении. Но
в силу коммутативности операторов Сх и С2 можно найти такое
представление, в котором оба оператора диагональные (см. [2]). Для этого
в качестве базисных векторов следует взять некоторые линейные комбинации
собственных векторов оператора Cv Если операторы Сг и С2 будут приведены
к диагональному виду, то согласно формуле
(5.179) гамильтониан II будет также представлен в диагональном виде, и
поэтому соответствующее представление можно назвать энергетическим. Если
гамильтониан диаго-нализован, то тем самым решено и уравнение Шредингера.
Хотя мы можем взять произвольную линейную комбинацию собственных векторов
оператора Cv мы выберем некоторую специальную простую линейную комбинацию
и проверим, может ли она быть собственным вектором оператора С2 (или
оператора Н). Рассмотрим для этого следующие векторы состояний:
I Ф (га, 1)> = cos 0" | п + 1,-1> + sin 0" | /г,+1>,
I ф (га, 2)> = -sin 0" ( п + 1,-1> + cos 0" | и,+1>,
(5.182)
5.111 СПИНОВЫЙ РЕЗОНАНС В КВАНТОВАННОМ ПОЛЕ 287
где состояние | п +1, -1) соответствует наличию п + 1 квантов поля и
спину, ориентированному вниз, а состояние | п, -[-1) соответствует
наличию п квантов поля и спину, ориентированному вверх. При этом одно из
состояний системы, | 0, -1), оказывается не включенным в выбранный нами
набор состояний - это состояние, в котором отсутствуют кванты, а спин
ориентирован вниз. Это состояние мы рассмотрим отдельно и будем называть
его основным состоянием. Угол 0(1 представляет собой свободный параметр,
выбираемый так, чтобы векторы | ф (п, ])> и | ф (/г, 2)) были
собственными векторами
оператора Сг. Число п изменяется от 0 до оо.
Предварительно заметим, что
<Ф (n, 1) | ф (п, 2)> = 0, ^ 18^
<ф(тг, 1) ! ф (те, 1)> = <ф (тг, 2) | <р (п, 2)> = 1.
Оба состояния (5.182) ортогональны основному состоянию | 0, -1). Кроме
того, в соответствии с соотношениями (5.181) имеем
С\ | Ф К 1)> = "(п + V2) | Ф (п, 1)>,
Сх | Ф (п, 2)> = со (п + V2) I ф (п, 2)>, (5.184)
Сд. 10, - 1 > = -тр | о, - 1>,
так что при любом выборе параметра 0П состояния
j ф(п, 1)) и | ф (п, 2)) представляют собой вырожденные
