Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
выражение это одинаково для всех систем Е, так что, начиная с этого места, можно ограничиться рассмотрением одной только системы.
5. Вычисление сумм значительно упрощается благодаря свойствам функций Р, Q и R. Так, например, чтобы первый множитель R (см. уравнение (53)) имел бы значение, заметно отличающееся от нуля, нужно, чтобы абсолютное значение (?' — ?)/ не превосходило бы небольшого кратного 7г, скажем сг7г. Произведения (г]г — rj)g и (?' — Qh должны быть меньше этого же значения, если мы хотим, чтобы второй и третий множитель в R не были бы малы по сравнению с единицей. Эти свойства множителей выражения R позволяют нам сохранить в третьей сумме формулы (56) только незначительное число комбинаций двух различных систем волн, по крайней мере при допущении, что длины /, g, h весьма велики по сравнению с длинами волн L
Можно изобразить каждую из систем волн точкой М, имеющей своими координатами значения ?, г/, согласно формулам (^7), прямая, приведенная из начала координат О к этой точке, дает направление распространения, а длина этого радиус-вектора равна
Г = TL = 2ж. (57)
С I
В силу сказанного выше после выбора системы S, которой соответствует точка М, можно ограничиться теми комбинациями системы S с системами S", для которых их изображающие точки M1 лежат в параллелепипеде с центром в M и ребрами, порядок величины которых равен здесь L обозначает порядок величины размеров параллеле-
Ij
пипеда, для которого мы ищем средние значения. Отсюда следует, что разность между OM и OMf не превосходит по порядку величины
<Т7Г
L ’
Примечание IX
149
что весьма мало по сравнению с (57), и что угол между OM и OMr по порядку величины не превосходит
СГ7Г I I
т:г=2ат
Отсюда видно, что все системы волн S', с которыми нужно комбинировать нашу систему S, имеют почти что ту же частоту и то же направление распространения, как и последняя система. Можно, таким образом, выбрать направления Lf1 и L2 так, что они почти совпадают с Li и L2, благодаря чему получаем (1,1') = (2,2') = I, (1,2') — (2,1') = О и исчезновение второй части последней суммы в выражении (56).
Подобные же замечания можно сделать и относительно сумм, содержащих Q2. Формула (52) показывает, что в этих суммах можно ограничиться теми случаями, когда ?', Tj', ?' мало отличаются от —?, —77, —?, т. е. системы волн Sf по частоте не отличаются от S, но имеют почти противоположное направление распространения. В этом случае, если привести к приближенному совпадению направления Lf1 и Li (см. то, что было сказано о связи между Li и L2 в п. 1 этого примечания), L2 и L2 будут иметь почти противоположные направления. Итак, можем положить (1,1') = I, (2,2') = —1, (1,2') = (2,1') = 0, благодаря чему рассматриваемые суммы обращаются в нуль.
Наконец, можно пренебречь и первой суммой выражения (56), если предположить, что даже та тесная группа систем S", с которыми при вычислении последней суммы нужно комбинировать систему S, весьма многочисленна. Действительно, в этом случае число членов первой суммы значительно меньше, чем число членов последней суммы, и легко видеть, что все эти члены одинакового порядка величины.
В конце концов находим
+Ъ1Ь'1) • / W, і58)
где знак E имеет значение, несколько отличное от того, которое ему следует придать в уравнении (56). В этом последнем каждая комбинация S, Sf давала один член. Теперь, наоборот, каждая система волн комбинируется со всеми другими. Поэтому перед формулой (58) стоит коэффициент 1/4 вместо множителя 1/2, который находим, если в третьей части выражения (56) заменим (1,1') + (2,2') на 2.
150 Примечания автора
6. Чтобы закончить нашу выкладку, обозначим через f(n) dn энергию единицы объема, поскольку она принадлежит лучам в промежутке частот dn. Пользуясь этим обозначением, формулой (55) и допущениями п. 3 этого примечания, можем написать
Е(dn)b\ = ^~^(dn)b\ = f(n) dn, (59)
или для конуса duj:
dn, duj)b\ = dn, duj)b\ = ^~/(n) du> dn;
для вычисления суммы
^jR2 6 2bf
выберем определенную систему волн S и будем комбинировать ее CO всеми системами S", содержащимися в промежутке duj'dn'. Тогда получим:
Ь\R2 E b'i = j_b\f(n')R2 (ко dn'.
Чтобы проинтегрировать затем это выражение по duj' dn', заме-
тим, что в пространстве (?, 77, = г' расстояние от начала коор-
/
с
динат до изображающей точки M', и что, следовательно, г duj'dr' = /2
= duj' dn' — элемент объема в этом пространстве. Таким обра-
с 3 f(n) зом, можно заменить duj' dn' на -^-rd^drfd^'. Напишем еще —— вмес-
р/ /\ п п
f(n) с
то ——, что можно сделать, так как все системы S , влияющие за-п
метным образом на результат, имеют частоту, почти равную частоте системы S, наконец, введем значение R. Тогда получим
+2°Г sin і(?'-0 Ї 2 +“Г sin Ш- V) Ї 2
j4b2f(n) ( -1----------\ dg- / —1---------\ dV'
J00K 2 (?'“?)/ > Joo { ^v'~ v^g
+^fsini(C-C)I2
dC,
— 00
Примечание IX
151
или
27Г2C3 I 2 ?ґ\ 1
&і/Н
п2 ~lj vv /g’/і
27Г 2-7Г 27Г
так как интегралы имеют соответственно значения , , .
