Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
dt2
Ri = ~Wnqi — Wi2q2 — ...
R2 = — w2iqi ~ w22q2 — ...
с вещественными коэффициентами wїї, Wi2, ... Подставляя эти значения в уравнение движения
d (дТ\ _ 8U . „ , о
находим
{mi(n2 — n2) + inwn}qi + inwi2q2 + ... = Ctiaeltn, inw2iqi + {777,2(^2 — n2) + inw22}q2 + ... = a2aeltn, ...
Эти уравнения определяют </i, ••• как функции времени. Они
дают нам, таким образом, колебания системы под влиянием силы аегпі.
14. Мы сказали, что отверстие О весьма мало. Потому излучение будет слабым, коэффициенты сопротивления гнц, Wi2, ... , определяемые им, имеют весьма малые значения. Принимая это во внимание легко видеть, что существуют частные случаи, в которых колебания, возбужденные внешней силой aemt, значительно больше, чем во
136
Примечания автора
всех остальных случаях. Эти случаи имеют место, когда среди величин m1(nl — п2), ra2(n| — п2), ... существует одна, абсолютное значение которой сравнимо со значениями Uw11, nw12, ... и не превосходит их заметно. Очевидно, если частоты ni, п2, ... достаточно отличаются друг от друга, то в непосредственном соседстве каждой из них существует промежуток п, где имеет место эта особенность, причем эти промежутки все лежат отдельно.
Нам достаточно рассмотреть один из промежутков, например первый. Если п лежит в этом промежутке, то значения д2, </з, ... значительно меньше, чем значение </і; можно ими пренебречь, а это равносильно тому, что сила аегпі производит движение, в котором только q1 меняется, т. е. движение, имеющее вид первого нормального колебания. Движение это дано формулой:
a\ae%nt
Qi =
mI (П1 — п ) + Inw11
Переходя к вещественным частям комплексных величин, можно сказать, что сила
К = a cos nt,
приложенная к электрону є, производит следующее колебательное движение:
qi = ----^r{mi(ni - п2) cos nt + HW11 sin nt}.
mi \ni ~ n Y + n w 11
Отсюда получаем для средней работы в единицу времени (работа дана выражением Ja1Kdq1):
I H2Oila2W11
Ш)
2 т\(п\ — п2)2 + n2w
2
11
Излученная в единицу времени энергия имеет то же значение.
15. Значение (41), найденное нами для излучения, получено рассмотрением работы, затрачиваемой на него. Можно поставить теперь вопрос о распределении излучения по различным направлениям. Опишем шар CF с большим радиусом г вокруг какой-либо точки отверстия О. Пусть P — какая-либо точка шара и da — элемент, содержащий эту точку. Мы уже знаем, что поток энергии в P имеет направление OP.
Примечание VII
137
Чтобы найти для него математическое выражение, выбираем два направления PLi и PL2, взаимно перпендикулярных и перпендикулярных к OP; ясно, что эти направления изменяются от точки к точке шара. Если Ej1 и E/2 — составляющие электрической силы (вещественные значения их) по этим двум направлениям, то согласно (35) для потока энергии, рассчитанного на единицу поверхности, имеем:
с(Ч+Ю-
Очевидно, что электрические силы Ez1 и Ej2, возникающие от силы aemt, могут быть представлены так:
Eil = A1Oeint, Eb = А2аеіи‘,
где комплексные множители Ai и A2 имеют определенные значения в каждой точке шара. Модули |Ai|, |А2|, умноженные на вещественный множитель а, дают нам амплитуды Ej1 и Ej2. Так как средние значения E2i и E22 равны полуквадратам амплитуд, то для среднего потока энергии получаем:
^ со-2 {I Ai 12 + IA212 } и для количества энергии, излученного сквозь шар сг,
^ca2 J{I Ai |2 + IA212} da. (42)
Интегрирование распространено на весь шар, но вполне возможно, что через часть поверхности излучение не идет; там мы будем иметь Ai = О, A2 = 0. Приравнивая друг другу выражения (42) и (41), находим
[ {| Ai |2 + IA212} da =I- 2П2а1^] 2 2 ¦ Ц8)
J ГЩ\Щ — Tl) + TlWl1
16. Мы рассмотрели излучение системы X; теперь определим, пользуясь теоремой взаимности (п. 10 этого примечания), интенсивность колебаний, сообщаемую ей лучами, проникающими сквозь отверстие О. Допустим, что лучи эти происходят от электрона Єо, находящегося в далекой точке P и поддерживаемого в колебательном состоянии внешней силой. Об электроне допустим, что на него действует
138
Примечания автора
квазиупругая сила, не зависящая от направления его смещения и, далее, сопротивление, зависящее от его излучения. Он будет обладать собственной частотой, которую оставим неопределенной.
Периодическая сила keint, приложенная к частице Єо, вызывает колебания в своем собственном направлении; ясно, что скорость колебания можно представить так: Iikeint, где /і — комплексный множитель, зависящий от частоты п и от величин, относящихся к самой частице. Для нашей цели нет надобности определять этот множитель, так как он исчезнет из результата. Для случая, который мы имели в виду в предыдущем параграфе, сила равнялась
E0Eil = E0Aiaemt,
причем она действовала на Єо в направлении PL1; она произведет скорость
Єо IiXiaeint
в том же самом направлении. Эта же скорость производится силой aeint, приложенной в направлении I к электрону є (п. 12 этого примечания), входящему в систему X. Таким образом, можно сказать, на основании теоремы взаимности, что сила aeint, действующая на удаленный электрон Sq по направлению PL1, производит такое колебание системы, что электрон є имеет по направлению I скорость
