Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
тикального диаметра, причем на него не действует ни упругая пара, ни сила земного магнетизма. Определим положение магнита углом который образует с горизонтальным диаметром проводника его ось, причем будем считать этот угол положительным в одном направлении и отрицательным в другом. То же самое примем для угловой скорости
и для пар, стремящихся повернуть магнит.
Как мы уже сказали в тексте, существуют две пары, возникающие от присутствия тока; одна из них есть сопротивление и может быть представлена так:
другая же G изменяется беспорядочно, не зависит от скорости и происходит от самопроизвольных токов, существующих в проводнике. Если Q — момент инерции магнита, то уравнение движения гласит:
и коэффициентом сопротивления w должно существовать соотношение
— WUJ,
Q ~~ — -WUJ + G.
at
Отсюда заключаем, что между импульсом
T
X2 = 2wkTr,
(28)
1 1
если хотим, чтобы энергия ^Quj2 магнита в среднем равнялась ^kT.
Li Li
Г-жа д е - Г а а з показала, как в рассматриваемом случае можно вычислить полностью w и X2, что позволяет проверить формулу (28).
126
Примечания автора
Она занималась также броуновским движением в системах с двумя степенями свободы. Случай двух проводящих цепей и задача о явлении Пельтье, упомянутая в тексте, входят в эту категорию.
VII. (Стр. 86)
1. Чтобы доказать теорему, о которой идет речь, напомним кое-что из теории электронов. Если обозначить1 через E электрическую силу, через H магнитную силу, через р плотность электрических зарядов и через V скорость, с которой перемещается точечный заряд, то имеем основные уравнения
rot H = \{pv + Ё), (29)
Е = -|н, (30)
приводящиеся к хорошо известным формулам для электромагнитного поля в эфире, если ПОЛОЖИТЬ P = 0.
1B этом примечании мы будем пользоваться следующими обозначениями: вектора изображаются буквами жирного шрифта, их составляющие — теми же буквами со значком, указывающим на направление составляющей.
grad ср (ср — скалярная величина) — вектор с составляющими
д(р д(р д(р
дх ’ ду ’ dz ’
div А означает:
дАх ^Ay QAz
дх ду dz ’
rot А есть вектор с составляющими:
dAz _ дАу дАх _ dAz дАу ^ QAx
ду dz ’ dz dx ’ dx dy
Скалярное произведение двух векторов А и В:
(А • В) = АЖВЖ + Ay'Qy + А^В^.
Векторное произведение двух векторов: [А • В]. Это вектор с составляющими
AyB2 A2B у, А2Вж АжВ2, АжВ у А^Вж.
Кроме того, мы пользуемся той системой координат, которая общепринята в электромагнитных теориях.
Примечание VII
127
Эти уравнения (29) и (30) позволяют нам определить E и H для произвольного распределения электрических зарядов, имеющих данное движение. Решение зависит от двух потенциалов, скалярного потенциала (р и векторного потенциала А, которые оба выражаются интегралами, распространенными на пространство S, содержащее заряды. Действительно, если P — точка и t — момент времени, для которых мы желаем вычислить (р и А, то имеем:
* = hjTdS’ а = 4hj[frdS' {31)
где г — расстояние между P и какой-либо точкой элемента dS.
Скобки указывают на то, что следует брать значения р и pv в элементе dS, соответствующие моменту t —
о
Найдя (р и А, определим поле по формулам:
E = — grad (р — ^A, H = rot А. (32)
Тогда будем знать и энергию поля, и поток энергии, даваемый выра-
жением
с [Е • Н].
Заметим еще, что между двумя потенциалами имеет место соотношение:
divA = — 1<р. (33)
2. Рассмотрим материальную систему Е, занимающую простран-
ство S конечных размеров и несущую заряды, которые, если угодно, можно считать сконцентрированными в электроны и связанными с весомой материей. В общих формулах плотность р рассматривается как непрерывная функция от координат; случаи разрывностей можно рассматривать как предельные случаи.
Допустим еще об электронах, что амплитуды их колебаний значительно меньше, чем их размеры. Такое ограничение мы вводим для упрощения математических выкладок; на результат оно влиять не будет.
Каково бы ни было распределение, а также движение электрических зарядов, поле, производимое ими на значительных расстояниях, обладает некоторыми общими свойствами, вытекающими из формул (31)
128 Примечания автора
и (32). Примем за начало координат произвольную точку О пространства S и будем пренебрегать членами, содержащими в знаменателе степени расстояния от начала координат выше первой. Тогда потенциалы в отдаленной точке P выражаются так:
Ax = ^Fl As = ^F2 (i- ?), Az = ^F3(t-^).
Функции F, Fi, F2, Fs зависят от распределения и движения зарядов; кроме того, они меняются с направлением OP. Ho при дифференцировании (р и А можно не обращать внимания на эту последнюю
1
зависимость, если ограничиваться только членами порядка -; при этом
і
пренебрежении можно также принимать множитель - как бы за постоянную. Так, например, имеем:
х jptu 9(р у , ( r ^
й = -^(‘-г). -^ = -—zF(l-c)
3. Чтобы упростить изучение поля в точке Р, берем новую систему координат, такую, что ось х совпадает с OP. Тогда для каждой из наших функций имеем:
