Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Правой частью, хотя она и содержит Iogn, можно пренебречь:
Iogf=Iogn.
Таким образом, имеем общее доказательство того свойства, которому Лоренц дает название «нечувствительности» формулы Больцма-н а.
Остается только вычислить один из наших интегралов, например TI, при помощи метода перевала.
Для этого разлагаем х(А) вблизи точки А по степеням /х, где
ifi = A- А:
х(Л + гц) = х(Л) + х'(л)*м - х"Щ^ - ¦ ¦ ¦
Ho х'(А) = 0; ограничиваемся выписанными членами, полагая х" (A) ^O; получаем:
+ OO
л = Ie-^sdllly
— оо
или, припоминая значение х:
п=е
Л?[/о(Л)Г v^F еЛЯ[/0(Л)]"
27Г Vnx77(A) V^Tmx77(A)
Нетрудно оценить порядок отброшенных членов, они будут поряд-
3
ка п 2. Таким образом, можем написать:
п _ е +п log /о (А) л/2ттпх"(А)
1 + 0(її)]-
Дополнения редактора
157
Для IogTI имеем:
IogII = AE + п log /о(Л);
остальными членами следует пренебречь.
Итак, полностью доказано утверждение «о нечувствительности» формулы Больцмана, так как указанные сейчас два члена AE + + n log/о (А) сильно превосходят те члены, которые мы отбрасывали.
(Cm. статьи редактора: Zschr. f. Phys. 81, 1933, 377; Докл. Акад. Наук СССР 1933, 3.)
2. О каноническом собрании Гиббса. Докажем следующее предложение: «Малая часть микроканонического собрания распределена по фазе канонически».
Предполагается, конечно, что энергию всей системы можно приближенно представить так
E= З + є,
где є — энергия малой части системы, а Э — энергия всего остального. Выберем для малой подсистемы фазу в элементе ее фазовой протяженности da и положим, что соответствующая энергия ее равна є. Тогда для объема фазовой протяженности всей системы для промежутка dE имеем:
II1(S) da dE = П(Е - є) da dE.
Если мы разделим это выражение на объем фазовой протяженности всей системы, вычисленный без закрепления фазы малой подсистемы в элементе da, скажем на П(Е) dE, то получим вероятность малой подсистемы иметь фазу в da. Иначе говоря, искомая вероятность равна отношению объема при выполнении условия «фаза малой системы в da» ко всему объему:
Тії (Е — є) da
ЩЁ)
Применим к этому выражению метод перевала, предполагая, что вся система, обладая большой энергией Е, состоит из большого числа элементарных подсистем. Пусть в малую систему их входит V. Тогда имеем:
J*e(AS-e)[/o(A)]„-,rfA JV*[/0(A)]”dA
158
Дополнения редактора
Медленно меняющийся вблизи перевала множитель под ингегралом числителя
е-А?[/о(А )Г
(v мало по сравнению с п, є мало по сравнению с E) можем вынести из-под знака интеграла, положив в нем A = A, где А соответствует перевалу. Тогда для вероятности фазе малой системы лежать в da получим
е-Лє _ ... d(j.
[Zo(A)]"
Ho
[Zo(A)]" = J е~Ає da,
где интеграл взят по всей фазовой протяженности малой системы. Отсюда заключаем, что
как это и должно быть для суммы вероятностей.
Вводя обозначения
Л=|, [Zo(A)]-" = Д
получим гиббсов вид для функции распределения канонического собрания. Для нас сейчас удобнее наша форма, которую переписываем так:
g—(Лє+z/ log /о(Л)) ^
В показателе стоит знакомое нам выражение для IogTI или IogF; стоит только в этом последнем заменить E на є и п на v и мы получим наш показатель с обратным знаком. Образуя среднее по каноническому собранию от
As + ^ log/о(Л),
т. е.
J е“(Лє+ІУІО8^0(Л))(Лє + ^log/o(A)) da,
получим
Хє + ^log/o(A),
Дополнения редактора
159
где є — средняя энергия в каноническом собрании. Это выражение совпадает с log77(e) или с logV(є), т. е.
к(Ає + V log /о (Л)) = S
есть энтропия. Вводя обозначения Гиббса, имеем:
і ке _ с 0 0 _
или, так как к/Q = 1/Т:
Ф = є -TS,
т. е. Ф — свободная энергия. Она, таким образом, равна
-1/0 log/o(|).
Появление свободной энергии нас не должно удивлять, так как мы доказали, что каноническое собрание изображает судьбы системы, соединенной с большим резервуаром тепла.
Докажем теперь важное свойство канонического собрания, благодаря которому становится понятной возможность замены его некоторым микроканоническим собранием.
Вот это свойство:
= /п
Еш и\п)'
где Em обозначает среднее по каноническому собранию от га-й степени энергии — то же значение энергии, что обозначено этим символом в п. 24, т. е. значение энергии, при котором выражение для вероятности энергии лежать в dE, а именно:
Ъ-Е
е 0 Я = еЛ(ф“в)Я
есть максимум. Докажем наше свойство для системы, состоящей из п частиц. Таким образом, п в нашей формуле, стоящее справа, и есть это число частиц. Приравнивая нулю производную от еА(^~Е)77, получаем для Eq уравнение:
еЛ(ф—Яо ){-\п + П'} = О,
160
Дополнения редактора
т. е.
Ht(E0)
= Л.
H(E0)
С другой стороны, для больших Emn имеем, как было доказано в предыдущей заметке,
H1(E) t
П(Е) ’
где A определяется из уравнения:
Таким образом, Eq удовлетворяет этому уравнению.
Для системы, состоящей из п одинаковых частиц, имеем:
п
следовательно,
!
OL1 Oin
C-I ... Cn ,
