Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лоренц Г.А. -> "Статистические теории в термодинамике" -> 47

Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.

Лоренц Г.А. Статистические теории в термодинамике — Ижевск, 2001. — 184 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskieteorii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 54 >> Следующая


jbh

7. Остается распространить этот результат на все системы волн S. Согласно формуле (59) находим сперва

27Г2С3 Г/ \ I 27Г2С3г^/^м2

п2

а затем

= ^J-{f(n)}2dn ¦ -A-,

R2blb? = 27f2C3 J ~^{f{n)}2dn ¦ j-^.

Второй член формулы (58) имеет то же значение; таким образом, как окончательный результат, получаем:

е2 = ^-2С3 f . Jgh

J П

Совершенно так же, как средняя энергия, для которой можем написать:

E = J /(») dn ¦ fgh,

средний квадрат отклонений слагается из бесконечного числа частей, относящихся каждая к соответствующему промежутку dn. Если теперь под E и S1 будем понимать только те части, которые соответствуют одному из промежутков dn, то получим:

E = I f(n)dn-fgh,

є2 = TT2C3^- = if(n)}2 dn ¦ fgh.

п

откуда выводим искомое соотношение

E2 = --------------

3 E2

Snv2 dv У

Для этого достаточно заменить fgh на V, п на 27rv и dn на eIndv.
Дополнения редактора

1. О «нечувствительности» формулы Больцмана.

Пусть объем фазовой протяженности между «поверхностями» энергии E и E + dE будет П dE. Пусть далее объем внутри «поверхности» Е, т. е.

E

J IIdE,

равен V. Будем также далее рассматривать функцию

и' =<Ш- = &У-

дЕ BE2'

Составим функцию

OO

/(A) = J е~ХЕП dE.

О

Полагая П равным нулю в промежутке (—оо, 0), можем переписать это и так:

+ OO

= f е~ХЕП dE.

т = /

-OO

1.

Отсюда имеем :

а+гоо

п =

J еХЕ/(A) d\ (a = const > 0),

27Г і

а—г оо

Переписываем формулу, определяющую /(А), так:

OO

XE

/(А) = I е~л* dV,

О

1Cm., например, Г. Мюнтщ Интегральные уравнения, ч. I, ГТТИ, 1934, стр. 284.
Дополнения редактора

153

откуда

OO

/(А)

OO

О

і Г

e~XEV + A / е~ V dE.

О

Полагаем F(O) = О и вещественную часть Л положительной, тогда

OO

О

-xeV = 0.

Следовательно.

OO

/

О

e~XEV dE =

ДА)

Л

а отсюда

а+гоо

V =

',TTi J

XEmd\.

27ТІ I Л

а—г оо

Наконец, переписываем формулу для /(Л) так:

OO

IS

J Hde

о

— XE

= /(А).

откуда

OO

OO

О

XE

П(Е) + I

e~XEII'dE = Xf(X).

О

Если

то

Я (O) = 0;

OO

О

¦~ХЕП = 0;

следовательно,

OO

J e~XEII'dE = Xf(X).

О

а отсюда

а+гоо

п'= ш / eXExfWdX¦

а—г оо
154

Дополнения редактора

Предположим теперь, что наша система состоит из п одинаковых подсистем, назовем их частицами. Тогда легко показать, что /(A) представляется так:

т = [л (а)]”,

где /о (А) относится к одной частице. Действительно, в нашем случае имеем:

E = Є і + . . . + En,

причем все Si зависят — в силу одинаковости частиц — одинаково от своих переменных, дающих фазу частицы. Элемент фазовой протяженности dT, также распадается на произведение п множителей 6?, относящихся к 1-й, 2-й, ... частицам. Итак,

J Є~х{єі+-+єп) dS!...dSn,

или, так как частицы одинаковы,

/(А) = (| e“A?l Jffi1)" = [/о(А)]п.

Таким образом, имеем:

n = mj єА*[/о(а)г<*а,

П' = 2hjеХЕ xIMW

где все интегралы берутся от а — гоо до а + г ос (а > 0). Если п и E велики, а этим случаем и интересуется статистическая механика, то для приближенного вычисления интегралов можно применить так называемый способ перевала (крутейшего спуска английских авторов)1.

Для этого замечаем, что подынтегральное выражение в интеграле для П имеет вид:

eA?4-nlog/0(A) _ e"[Af ^+1OgZo(A)] _ e„x(A)

1Cm., например, Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, стр. 501, ГТТИ, 1933.
Дополнения редактора 155

тр

если через х(А) обозначить выражение A— + log/o(A). Функция х(А) на вещественной оси ведет себя следующим образом: для А —> 0 и А —> оо х(А) стремится к бесконечности; между этими значениями лежит минимум, и притом один, в точке, определяемой из уравнения:

E , /(S(A)

/о (А)

,//W Ь , JoVxV п X (А) = п+ ~Т7TT =

Пусть эта точка есть А = Л. В силу основных свойств функций комплексного переменного модуль подынтегральной функции будет чрезвычайно быстро убывать (п и E велики) при удалении от точки Л вдоль нашего пути ингегрирования. Поэтому медленно меняющиеся части подынтегрального выражения можно вынести из-под знака интеграла, положив в них А = Л.

Таким образом, имеем:

TT f єХЕ fо

=- = A ----= Л,

V J е^/0” dX

TTf

— = Л и т. д.

Отсюда следует, что

IogTI — IogF = IogA, IogTI' — IogTI = IogA.

Ho для больших п и E таким членом, как IogA, следует пренебречь и мы имеем

A: log TI = k log V = fclogTI'.

Если одна из этих величин годится как энтропия, то и остальные величины будут также годиться.

Положим теперь, что энергия системы зависит от некоторого параметра а, и рассмотрим величину

дП

да

при постоянном Е. От а в интеграле для TI будет зависеть функция /о; поэтому

дП

да 2тг і
156

Дополнения редактора

или

дП n f \е гп ® 1°8 /о

да 2nі J да

или — для больших п и Е:

dX

дП д loS /о (Л)

= Tl

h IеХЕfо

да да 2п г

отсюда имеем:

, дП , TT , / ^ log/о (Л) ^

log-^--logg = log(« ).
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 54 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed