Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
jbh
7. Остается распространить этот результат на все системы волн S. Согласно формуле (59) находим сперва
27Г2С3 Г/ \ I 27Г2С3г^/^м2
п2
а затем
= ^J-{f(n)}2dn ¦ -A-,
R2blb? = 27f2C3 J ~^{f{n)}2dn ¦ j-^.
Второй член формулы (58) имеет то же значение; таким образом, как окончательный результат, получаем:
е2 = ^-2С3 f . Jgh
J П
Совершенно так же, как средняя энергия, для которой можем написать:
E = J /(») dn ¦ fgh,
средний квадрат отклонений слагается из бесконечного числа частей, относящихся каждая к соответствующему промежутку dn. Если теперь под E и S1 будем понимать только те части, которые соответствуют одному из промежутков dn, то получим:
E = I f(n)dn-fgh,
є2 = TT2C3^- = if(n)}2 dn ¦ fgh.
п
откуда выводим искомое соотношение
E2 = --------------
3 E2
Snv2 dv У
Для этого достаточно заменить fgh на V, п на 27rv и dn на eIndv.
Дополнения редактора
1. О «нечувствительности» формулы Больцмана.
Пусть объем фазовой протяженности между «поверхностями» энергии E и E + dE будет П dE. Пусть далее объем внутри «поверхности» Е, т. е.
E
J IIdE,
равен V. Будем также далее рассматривать функцию
и' =<Ш- = &У-
дЕ BE2'
Составим функцию
OO
/(A) = J е~ХЕП dE.
О
Полагая П равным нулю в промежутке (—оо, 0), можем переписать это и так:
+ OO
= f е~ХЕП dE.
т = /
-OO
1.
Отсюда имеем :
а+гоо
п =
J еХЕ/(A) d\ (a = const > 0),
27Г і
а—г оо
Переписываем формулу, определяющую /(А), так:
OO
XE
/(А) = I е~л* dV,
О
1Cm., например, Г. Мюнтщ Интегральные уравнения, ч. I, ГТТИ, 1934, стр. 284.
Дополнения редактора
153
откуда
OO
/(А)
OO
О
і Г
e~XEV + A / е~ V dE.
О
Полагаем F(O) = О и вещественную часть Л положительной, тогда
OO
О
-xeV = 0.
Следовательно.
OO
/
О
e~XEV dE =
ДА)
Л
а отсюда
а+гоо
V =
',TTi J
XEmd\.
27ТІ I Л
а—г оо
Наконец, переписываем формулу для /(Л) так:
OO
IS
J Hde
о
— XE
= /(А).
откуда
OO
OO
О
XE
П(Е) + I
e~XEII'dE = Xf(X).
О
Если
то
Я (O) = 0;
OO
О
¦~ХЕП = 0;
следовательно,
OO
J e~XEII'dE = Xf(X).
О
а отсюда
а+гоо
п'= ш / eXExfWdX¦
а—г оо
154
Дополнения редактора
Предположим теперь, что наша система состоит из п одинаковых подсистем, назовем их частицами. Тогда легко показать, что /(A) представляется так:
т = [л (а)]”,
где /о (А) относится к одной частице. Действительно, в нашем случае имеем:
E = Є і + . . . + En,
причем все Si зависят — в силу одинаковости частиц — одинаково от своих переменных, дающих фазу частицы. Элемент фазовой протяженности dT, также распадается на произведение п множителей 6?, относящихся к 1-й, 2-й, ... частицам. Итак,
J Є~х{єі+-+єп) dS!...dSn,
или, так как частицы одинаковы,
/(А) = (| e“A?l Jffi1)" = [/о(А)]п.
Таким образом, имеем:
n = mj єА*[/о(а)г<*а,
П' = 2hjеХЕ xIMW
где все интегралы берутся от а — гоо до а + г ос (а > 0). Если п и E велики, а этим случаем и интересуется статистическая механика, то для приближенного вычисления интегралов можно применить так называемый способ перевала (крутейшего спуска английских авторов)1.
Для этого замечаем, что подынтегральное выражение в интеграле для П имеет вид:
eA?4-nlog/0(A) _ e"[Af ^+1OgZo(A)] _ e„x(A)
1Cm., например, Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, стр. 501, ГТТИ, 1933.
Дополнения редактора 155
тр
если через х(А) обозначить выражение A— + log/o(A). Функция х(А) на вещественной оси ведет себя следующим образом: для А —> 0 и А —> оо х(А) стремится к бесконечности; между этими значениями лежит минимум, и притом один, в точке, определяемой из уравнения:
E , /(S(A)
/о (А)
,//W Ь , JoVxV п X (А) = п+ ~Т7TT =
Пусть эта точка есть А = Л. В силу основных свойств функций комплексного переменного модуль подынтегральной функции будет чрезвычайно быстро убывать (п и E велики) при удалении от точки Л вдоль нашего пути ингегрирования. Поэтому медленно меняющиеся части подынтегрального выражения можно вынести из-под знака интеграла, положив в них А = Л.
Таким образом, имеем:
TT f єХЕ fо
=- = A ----= Л,
V J е^/0” dX
TTf
— = Л и т. д.
Отсюда следует, что
IogTI — IogF = IogA, IogTI' — IogTI = IogA.
Ho для больших п и E таким членом, как IogA, следует пренебречь и мы имеем
A: log TI = k log V = fclogTI'.
Если одна из этих величин годится как энтропия, то и остальные величины будут также годиться.
Положим теперь, что энергия системы зависит от некоторого параметра а, и рассмотрим величину
дП
да
при постоянном Е. От а в интеграле для TI будет зависеть функция /о; поэтому
дП
да 2тг і
156
Дополнения редактора
или
дП n f \е гп ® 1°8 /о
да 2nі J да
или — для больших п и Е:
dX
дП д loS /о (Л)
= Tl
h IеХЕfо
да да 2п г
отсюда имеем:
, дП , TT , / ^ log/о (Л) ^
log-^--logg = log(« ).