Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
д ід д = 0 а о.
дх cdV ду ’ dz Отсюда следует, согласно формулам (32)
V - - 1 дАж
ж с dt с dt
ИЛИ
Еж = 0;
так как соотношение (33) теперь имеет вид:
1 дАх _ і дір с dt с dt'
Также имеем:
Нж =0
Примечание VII
129
и
— сМ* с)’ Ez- crF3(t с),
н* = ^(*-Ю» н* = -?И(*-?)>
т. е.
Hz=E у, Ha = -Ez, (34)
что нам показывает взаимную перпендикулярность электрической и магнитной сил и перпендикулярность их к радиусу-вектору OP.
Для потока энергии находим:
Sx =c(E2+Ez)2, Sa=O, Sz=O. (35)
Мы видим, таким образом, что электромагнитное поле на больших расстояниях от произвольной системы обладает радиальным потоком энергии, исходящим из системы; поток этот изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния. Если в частных случаях этот поток
отсутствует, то это получается от того, что E и H убывают быстрее,
1
чем -.
4. До сих пор мы не говорили о силах, определяющих движение зарядов или заряженной материи. Сила, с которой действует электромагнитное поле на единицу заряда, равна
E+i[vH], (36)
причем в задаче, которой мы занимаемся, следует ограничиться первым членом. Действительно, мы допускаем, что магнитная сила происходит исключительно от световых или тепловых колебаний. В этом случае H пропорционально скоростям колебаний и второй член в (36) второй степени относительно скоростей. Им можно пренебречь, если эти скорости малы по сравнению со скоростью света. Прибавим еще, что для достаточно медленных движений можно принять ускорение
о
равным -T^ или V.
Таким образом, если через S обозначим массу единицы объема, получим уравнение движения:
V = рЕ + F,
(37)
130
Примечания автора
где F заключает в себе все силы, отнесенные к единице объема, могущие действовать кроме силы E на заряды или на материю, с которой последние связаны.
5. Докажем теперь лемму, необходимую для нашего доказательства. Рассмотрим пространство S, ограниченное, с одной стороны, поверхностью Cr1 беспредельно растущего шара радиуса г и, с другой стороны, поверхностью сг2 идеального проводника. Пусть E — материальная система конечных размеров, расположенная в пространстве S вблизи центра О поверхности Cr1.
Если в этой системе и в эфире, ее окружающем, могут существовать два состояния колебаний 1 и 2 той же частоты п и если все переменные величины изображаются выражениями, содержащими множитель егпі, то имеет место равенство
/
{(F2 • vi) - (Fi • v2)} dS = 0. (38)
6. Для доказательства этой теоремы представим себе, что формулы (29), (30) и (37) написаны два раза, один раз со значком 1, другой раз со значком 2; если а — одна из переменных, нами рассматривае-
мых, то
(ot2 • oti) ~ (^i * Ot2) — 0,
так как аі = таї и а2 = гпа2.
Формула (37) дает нам для первого члена (38)
А = J 5{(v2 • vi) - (vi • v2)} dS - I р{(Е2 • vi) - (Ei • v2)}
dS,
где первый член равен нулю. Во втором заменим pvі и pv2 их значениями из (29). Тогда находим:
A =
J ((E2 • Ei) - (Ei • Ё2)} dS-cJ ((E2 • rot Hi) - (Ei • rotH2)} dS.
Снова первый интервал обращается в нуль. Что же касается второго, то после интегрирования по частям он распадается на два члена: один относится к ограничивающей поверхности а, состоящей из cri и сг2, а другой — к пространству S. Пользуясь уравнением (30), получаем для последнего члена следующее выражение:
—с
/((Hi - rot E2) - (H2 • rot Ei)} dS =J {(Hi • H2) - (H2 • Hi)} dS = 0.
Примечание VII
131
Таким образом,
A = с J{[Е2 • H1Jjv - [E1 • Н2]^} da,
где значок N показывает, что нужно взять составляющие [E2 • Hi] и [Ei • H2] по нормали TV, проведенной наружу относительно области интегрирования.
7. Известно, что на поверхности идеального проводника электрическая сила направлена по нормали; этого достаточно для того, чтобы поверхность сг2 не вносила ничего в А. Что же касается шаровой поверхности CF і, то следует заметить следующее: мы принимаем во внимание
в [E2 -HiJiv и [Ei -H2Jiv только члены порядка —, т. е. для величин Ei,
г
і
E2, Hi, H2 порядка -. Отсюда следует для произвольной точки P поверхности (Т\
[E2-H1Jjv- [E1-H2Jjv = O.
Действительно, если возьмем прямую OP за ось ОХ, то получим
Ei2yU.\z E2^Hi27 Ei2^H2, ~\~ Ei^H227,
а согласно (34) имеем:
Hi г — Е]у, Hi у — Ei2;, H2, — 1^2у, H2 у — E2,.
Таким образом, получаем
A = 0,
что и требовалось доказать.
8. Следует заметить, что существует категория сил, для которой соотношение (38) проверяется непосредственно. Припишем системе E свойства упругого тела и допустим, что частицы его, после того как они сдвинуты из их положения равновесия, испытывают силы, стремящиеся вернуть их в эти положения и зависящие от потенциальной энергии. Представим себе, что система состоит из материальных точек и обозначим через ж1, х2, ... составляющие перемещений точек по осям (для каждой из них имеем, таким образом, три величины х) и через Xі, X2, ... соответствующие составляющие упругих сил. Для
132
Примечания автора
малых смещений эти силы — линейные и однородные функции от смещений. Таким образом, имеем:
