Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
хМ = Xi a^ajw > (здї
V
причем
QjILV - QjVlLI (4^)
что должно быть выполнено, так как силы X^) — частные производные по переменным от потенциальной энергии, взятые с отрица-
тельным знаком.
Коэффициенты конечно, вещественны; мы имеем связь (39)
не только для вещественных значений х и X, но и для комплексных значений, содержащих множитель егпі.
Ясно, что выражения
J(F2-vi) dS и ^(Fi * v2) dS, поскольку они зависят от упругих сил, принимают вид:
4м) и Y Х1Ы *2° •
Ц IL
В их равенстве убеждаемся, заменяя х на гпх и пользуясь уравнениями (39) и (40).
Добавим, что наше заключение остается справедливым для непрерывной среды, а также для случая, когда связи ограничивают подвижность.
9. В теореме, которой мы сейчас займемся, речь будет идти о внешних силах, действующих на систему E и вызывающих колебания; к этим силам мы применим уравнение (38). Ясно, что мы имеем право это сделать: формула сперва нами была доказана для совокупности всех сил (п. 7 этого примечания), а затем для сил упругих (п. 8); таким образом, она должна быть справедлива и для одних внешних сил, рассматриваемых отдельно.
В действительности, нам достаточно одно частное следствие, получающееся из формулы. Чтобы его получить, я допущу, что электрические заряды сконцентрированы в электроны или, вернее, что система содержит по меньшей мере две частицы е' и е" такой природы,
Примечание VII
133
а остальные заряды могут быть распределены произвольным образом. Электроны пусть будут малыми твердыми шариками; внешние силы приложены к их центрам. Эти точки мы будем иметь в виду, когда будем говорить о скорости электронов.
10. Я полагаю, что в состоянии 1 единственная внешняя сила
К' = а'еш
приложена к е' по направлению Ii1. и что во втором случае существует только внешняя сила
К” = a" eint,
действующая на электрон е" в направлении h". Формула (38) дает нам:
KfV2hl = KWlhU,
если под v"h„ понимать составляющую по направлению h" колебательной скорости, которой обладает е" в первом случае, и под v2h, скорость по направлению Ы, которой обладает электрон е' во втором случае. Переходим к еще более частному случаю, полагая К' = К", т. е. а1 = а". Тогда имеем:
Таким образом, если сила К' = аегпі производит скорость v"h,, = _ ^ то сила ^ равная первой, даст то же значение Ъег^п1+^
скорости v'2h,.
Если перейти к вещественным частям комплексных величин, то силы выражаются так: acosnf, а скорости так: bcos(nt + q). Таким образом, можно сказать: если периодическая сила acosnf, действующая на первый электрон по направлению Ы, дает второму колебательную скорость, составляющая которой по направлению h" равна и если, обратно, v2h, — скорость первого электрона в направлении Ы, происходящая от силы a cosnf, действующей на второй электрон по направлению /і", то v"h,, и v2h, равны по амплитуде и фазе.
Заметим еще, что этот результат, весьма похожий на хорошо известные теоремы взаимности, применим к произвольно выбранным направлениям Ы и h".
11. Мы можем теперь перейти к вычислению энергии, которую рассмотренная в тексте система забирает от черного излучения.
134
Примечания автора
Если система окружена абсолютно проводящей оболочкой — со-
тухающие колебания, так как согласно нашему допущению нет никаких внутренних сопротивлений. Теория этих колебаний имеет обычный вид. Вводя нормальные координаты системы </i, q2, ... , получаем для потенциальной и кинетической энергий:
Соответственные формулы справедливы для частот п2, пз, ... остальных нормальных колебаний.
12. Пусть є — электрон, принадлежащий к системе, I — неизменное направление, выбранное произвольно, и ? — смещение электрона в этом направлении из положения равновесия. Это смещение — линейная и однородная функция координат </i, q2, ...:
К электрону приложим внешнюю силу К, имеющую снова направление I. Ее работа для бесконечно малого смещения равна
вершенно замкнутой — то в ней могут происходить свободные неза-
где /і, /2, ...; гаї, т2, ... — постоянные.
Первое нормальное колебание повинуется уравнению:
или
lTniQi = fiQi 5
откуда получаем для частоты:
^ — otiqi H- oc2q2 + ...
К = aiKSqi + a2KSq2 + ...
Величины
Qi = OLiK, Q2 = Ol2K, ...
— составляющие силы К относительно координат </i, q2, ...
Примечание VII
135
13. Устроим теперь сообщение между системой и внешним пространством R, проделав весьма узкое отверстие О в оболочке. Если теперь мы приложим к электрону є силу
К = aeint,
то в результате получится стационарное состояние, состоящее из колебаний частоты п, при котором через отверстие излучается энергия. Это излучение, поддерживаемое работой силы К, вызывает сопротивление, сравнимое с силой
б2 d3?
67Гс3 dt3 ’
о которой мы говорили в случае одного электрона. Составляющие этой силы по координатам </i, q2, ... можно считать линейными однородными функциями нечетных производных от (/і, q2, ... по времени; так
д2
как мы имеем —- = — п2, то они принимают вид:
