Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение движения частицы для некоторого направления гласит:
здесь Vo — значение скорости v в начальный момент t = 0.
Разбиваем промежуток (0, t) на п промежутков длины т. Пользу-
ясь теоремой о среднем значении, можем переписать интеграл так:
X2 = 2 kTsr,
(і)
(2)
д2 _ 2 kTt
s *
тице беспорядочными ударами молекул окружающей среды за время т;
s тр сила
—, Г — m .
(5)
V = -Pv + F.
(4)
Для V имеем:
t
о
174
Здесь
Дополнения редактора
гг ^ {г + 1 )т. (7)
Обозначим F(^r) через Fr; выполняя интегрирование, получаем
_ _ 7I-1 „(г+1)Рт _ „гРт
V = v0e~Pt + e~Pt Fr --------------5—^--- (S)
г=О
ИЛИ
"_1 гРт
v = v0e~pt +е~Рі(еРт -I )^Fre_. (S')
'/• = ()
Образуем теперь г?2 и берем среднее от него для большого числа частиц. Обозначая среднее чертой над буквами, имеем
V0Fr = 0, FrFs = 0, (9)
v2=v2, (10)
F2 = F2 (U)
(9) следует из независимости величин г?о, Fr, Fs друг от друга, (10) следует из стационарности для большого числа частиц, (11) — наиболее естественное предположение. Таким образом, получаем
и—і
V2 = v2e~2Pt + \е~2Р\еРт — I)2F2 ^2, є2гРт- (12)
^ /•=()
Полагая пт = t, окончательно имеем точную формулу для F2:
___ „2Pt і ___ юРт 1
F2 = V2P2-^5---------Ї- = V2P2ec . (I)
(еРт -I)2 еРт -1 W
Если мы через X обозначим импульс за время т, то, очевидно, можем положить (см. 3):
X2 = T2F2W2 (13)
Дополнения редактора
175
и соответственно
X2 — TTl2V2P2T2-^~в-= TTl2V2P2T2^-=—L (/')
(еРт-1)2 еРт-1 у }
Чтобы получить обычную формулу Эйнштейна, полагаем
1 (Ц)
(легко видеть, что Pt имеет размерность нуль). Тогда получаем:
X2 = 2 Ui2V2Pt = 2 Triv2ST. (/")
Подставляя га?;2 = kT, получаем (7).
Таким образом, формула Эйнштейна получается из точной формулы (/') в предположении (14)-
2. Переходим к выводу выражения (2) для квадрата смешения.
Из (5) имеем
х — Xo = ^(1 — е Pt) + Je Pr] d,T] J epeF(6)d6. (15)
о о
Изменим справа порядок интегрирования. Тогда получим
t t
х — Xo = (I — e~Pt) + J epeF(6)d6 J e~Pr] dT) (75;)
о в
и, выполнив интегрирование по т]:
t
х — X0 = -р-(1 — e~Pt) + -р J еРвF(6)(e~pe — e~Pt) dO (75")
о
или
t t
X-X0 = р(1 - e~pt) + J F(O) de - J epeF(6) de. (15"')
о о
176 Дополнения редактора
И, наконец,
TL — 1 TL — 1
X-X0 = ^il- e-pt) + I5YFr- - !) E f^tpt- (15"")
г=0 /•=()
Образуем (х — Xo)2 и берем среднее по большому числу частиц, Пользуясь (9), (10), (11) и (/), получаем:
(х - X0)2 = -^-(1 - е +
-Pt\2
+ V2P2-
2 Pr
- 1
(еРт - 1):
Т* + 6 2Pt ieZ 1)2 (e2Pt - I) -
ЛРт
— 1
-Ptf „Рт\ ePt — 1
- 2
P3
Kr)
,Pr
-1
(16)
или, после простых преобразований, окончательно:
,2 Pr
-1
ЛРт
— 1
Д2(ж - X0)2 = —T^v2rt +^(1_е Р<) ( P _ т7^7
(е^г - 1)
(е^т - 1)
(_/#) есть точная формула для среднего квадрата смещения.
Введем теперь снова предположение, что Pr <С 1. Тогда после простых преобразований получаем:
A2 = (х — Xo)2 =
2г?2
t -
1-е
-Pt
cIv2
+ ^[Prt + 2т{\ - e~Pt)\
Последним членом можно пренебречь. Действительно, обычно мы имеем P большое, а по предположению Pr <С 1, следовательно, т весьма мало. Отбрасывая последний член, получаем:
A2 = (х — Xo)2 =
2v2
t -
1-е
-Pti
(17)
Относительно (17) см. также L. S. Ornstein, Proc. Amsterdam 21, 1917, 96; Zschr. f. Phys. 41, 1927, 848.
Дополнения редактора 177
Рассмотрим теперь два крайних случая. Положим сперва, что Pt 1. Тогда имеем:
A2 =
eIv2
о-*)
P
и для достаточно большого P получаем формулу Эйнштейна:
2v2 . 2mv2 . 2kTt
A2 = (х - X0)2 = —prt = —-—t = ——. (18)
Положим, с другой стороны, что Pt мало. Тогда получим:
A2 =
2v2
Pt - lp2t2i
t-
= v2t\ (19)
Это есть вполне разумный результат, так как смещение за малый промежуток времени определяется начальным значением скорости vq\
А = Vot, A2 = Vq ?2, A2 = V^t2 = V212. (20)
Еще раз подчеркнем, что выражения (I) и (II) в предположениях (9) (10), (11) — выражения точные.
3. Пусть х — координата и v — скорость броуновской частицы (ради простоты рассматриваем одномерный случай; трехмерный не представляет никаких принципиальных трудностей). Для изменения этих величин за малое время г пишем:
Av = -Pvr + Fr,
І21)
Ax = VT + ? Ft2.
Если f(v, х, t) — плотность вероятности для фазы (V, х) во время t и — Vf, г) dv — верятность перехода от скорости v' к скорости V за
промежуток времени г, то имеем:
f(v, x,t + r) = f(v(I + Pt), X - VT, ?)(1 + Pt) - /(г>, х, ?) +
178 Дополнения редактора
Пусть Ли// — чисто мнимые величины, положим:
+ OO
Ф(А, (i, t) = JJ е Xv f(v, х, t) dv dx, (23)
— оо
+ OO
т) = Jf е Хг,ф(г), т) dr). (24)
— ОО
Для Ф мы получаем из (22) функциональное уравнение:
Ф(А, /л, t + г) = Ф(А(1 - Pt) + /хт, /i, ?) - Ф(А, /л, ?) +
fiT \ (25)
+ /і, + , т)
или, ограничиваясь при разложении по степеням т линеиными членами,
