Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
4. О флуктуациях числа частиц. Формулы примечания III проще всего получаются следующим образом:
Пусть Sk равно нулю, если к-я частица не находится в выделенном объеме Vi, и равно единице, если она там находится. Очевидно, имеем:
Дополнения редактора
169
Вычисляем среднее 8k-
Sk = l-p + 0-q=p.
Отсюда имеем:
т = ^Sk = пр.
Образуем S%:
Si = l- p + 0-q=p;
далее вычисляем SkSi:
SkSi = 1 • р2 + 0 • pq • 2 + 0 • q2 = р2.
Отсюда получаем:
к>1
п(п — 1)
так как число членов в первой сумме равно п, а во второй — -------------------.
Li
Мы можем рассмотреть и более сложный случай, а именно следу-
ющий: пусть р — вероятность частице попасть в Vi, q — вероятность не попасть туда; пусть Q — вероятность быть BDi и остаться в нем при следующем наблюдении, P — вероятность быть в Vi и не оказаться там при следующем наблюдении, Qi — вероятность не быть при обоих наблюдениях, наконец, Pi — вероятность не быть при первом наблюдении и появиться при втором. Запишем все это так:
Так как (+) при втором наблюдении появляется в двух случаях (++) и (—1-), то имеем:
Вероятность, что из п частиц в объеме Vi при следующем наблюдении г частиц уже не будут в г;*, но придут туда j новых частиц, очевидно, равна
(+)р; (+-)^; (-+^Pl; (—)#; (++)0; (—)Qi-
V — pQ + qPi •
WiWj =
170
Дополнения редактора
где N — общее число частиц. Чтобы вычислить величины
А п= J- І-,
= U - і)
т. е. среднии «приход» при начальном «наполнении» п и среднии квадрат этого «прихода», замечаем, что
п N—n
Y, E w = (р++ Qi)N~ni
і=о j=0
т. е. единица, как сумма всех вероятностей. Однако мы пока не положим справа P + Q = I, Р\ + Qi = 1, а возьмем производную по Р\ от обеих частей и результат умножим на Р\.
Тогда слева получим:
______Jmwj = J,
а справа
(N - п)(Р + QriP1 + Q1)1*-"-1P1, что равно [Р + Q = 1, Р± + Qi = 1] (N — Ti)Pi. Применяя затем опера-
о д -
цию получим г, а именно:
г = пР.
Таким образом, имеем:
j — і = (N — n)Pi — пР.
Полагая Q = Pi = р, P = Qi = ?, получим частный случай, который рассматривается в тексте, — отсутствие «последействия». Здесь имеем:
j — г = (TV — п)р — nq = Np — п.
о о
Применяя еще раз операции Pi -^-=- и Ртг^, легко получить выра-
(/Pl о P
жение для A2 (см. статью редактора Zschr. f. Phys. 13,1923,203). Флуктуациям посвящена монография R. F ii г t h’ a, Schwankungserscheimm-gen in der Physik; см. также главу XIX книги Фоулера.
Дополнения редактора 171
5. К примечанию V. К п. 7. Доказательство, данное здесь для формулы
xI = Q-
1
2 An
требует пояснения. Дадим его, пользуясь обозначениями Лоренца. Так как
Xi H- ... H- хп = О,
то введем новые прямоугольные координаты, такие, что п—1 координат лежат в «плоскости» Y хг = 0 и последняя координата перпендикулярна к ней. Направляющие косинусы этого перпендикуляра, очевидно, равны друг другу и равны
1
у/п
Таким образом, для последней координаты — назовем ее и — имеем:
и = ——{xi + . . . + Xn). у/п
Для ? = х\ +... + X1n получаем, так как преобразование ортогональное,
где через ?' обозначена сумма квадратов остальных новых координат. Для нового элемента объема имеем, соответственно, dudX'.
Величина Q определена так:
Г x\e~A^dX Q= fe~A(dX '
Для знаменателя имеем:
+ OO
J е~м dX = J е~м' dX' J е~Аи2 du = J е~м' dX'.
— оо
Если взять производную от f е~Л^ по А, то получим
172 Дополнения редактора
Ввиду полной симметрии по х, заключаем, что числитель Q равен
-~Та f еМ' dX
ndAJ
или равен
л/тт
3
2 пА2
Je-VdX'-JiiJ-Je-^dx,
таким образом, Q равно
Так как
I fe-At'gdX'
Q = —-—|- —------------
2Ап п J е~А^' dX'
J e~M'gdX' = п J e-^'x'^dX'.
то получаем
Q = х\ +
2 An
Чтобы в этой последней формуле обосновать замену хна х’-^,
вспомним, что все X2 друг другу равны и что
/у»2 і і /у» 2 — nt 2 і 2 і і /у»/2
еЪ I • • • I еЪ Cl/ I еЪ I • • • I еЪ •
Ho
где последняя сумма взята для г > s. Среднее от xrxs равно нулю, если г ф s. Таким образом, имеем
nxI — nxi + (n — l)^i2
(все Xfr2 также равны друг другу) и, следовательно,
Дополнения редактора
173
6. О броуновском движении. Поставим себе целью вынести две основные формулы теории броуновского движения элементарно, HO более тщательно, чем это обычно делается. Вот эти две формулы:
Здесь к — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура, s — коэффициент в силе сопротивления среды, равной — SV, где V — скорость, X2 обозначает средний квадрат импульса, сообщенного час-
A2 есть средний квадрат смещения частицы за время ?; под импульсом и смещением подразумеваются таковые, взятые для некоторого направления. Как известно, формулы эти справедливы и в более общем смысле — для любой обобщенной координаты q и соответствующего ей обобщенного импульса, если q удовлетворяет уравнению типа (4).
1. Обозначим s, деленное на массу частицы, через P и силу, происходящую от ударов окружающих молекул и остающуюся за выделением силы сопротивления — sv, деленную на массу частицы, через F:
