Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
21. Мы можем теперь заняться вопросом об эквивалентности двух определений. Рассматриваем снова слой dE и траекторию, в нем находящуюся. Отметим на этой траектории точки Pi, P2, Рз и т.д., пробегаемые изображающей точкой в моменты времени, отстоящие друг от друга на весьма малые равные промежутки т. Производим эту операцию весьма долгое время, так что получаем бесчисленное множество точек Р. Легко видеть, что два определения вероятности состояния сведутся к одному и тому же, если эти точки равномерно распределены во всем слое, т. е. если при разделении слоя на равные элементы — каждый элемент имеет толщину, равную толщине слоя, — мы в каждом элементе находим равное число точек. Действительно, согласно второму определению вероятности, что состояние системы заключается между границами, соответствующими двум элементам dEi и dT,2, пропорциональны временам, в продолжение которых изображающая точка находится в этих элементах. А эти времена, очевидно, пропорциональны числу точек Р, содержащихся в dEi и в dT,2.
Теорема Лиувилля позволяет нам определить условия, при которых это равномерное распределение точек P будет иметь место. Рассмотрим бесконечно тонкую трубку Т, занимающую всю толщину слоя dE, ограниченную сбоку поверхностью, имеющей образующими траектории изображающих точек, и такую, что ее ось — траектория L, на которой мы отметили точки Р. Чтобы эти точки были равномерно распределены в слое достаточно, чтобы эта трубка, проходя по слою, заполнила бы его весь, не оставляя пустот и без частичного перекрытия одной части трубки другой. Рассмотрим, действительно, прямые сечения, проходящие через середины длин Р[, Pl1 и т.д. промежутков PiP2, Р2Рз и т. д. на центральной траектории. Эти сечения разделяют труб-
Сравнение двух определений вероятности
45
ку, а следовательно, и слой dE на элементы d?i, dT>2 и т.д. Ясно, что все изображающие точки, которые находятся в некоторый момент времени в d?i, будут находиться по истечении времени т в 6?, в с??з через время 2т и т.д. Согласно теореме Лиувилля эти элементы имеют одинаковый размер, и, так как каждый из них содержит одну из точек Pi, P2 и т.д., то ясно, что рассматриваемое равномерное распределение имеет место.
К сожалению, не удается доказать, что трубка T действительно заполняет весь слой dE, и поэтому невозможно оправдать в общем виде гипотезу, сделанную нами в п. 7 первой лекции.
Хотя мы должны были указать на эту трудность, на вид весьма серьезную, но нужно заметить, что она появляется как результат, быть может, чересчур больших требований, а именно, чтобы все точки Р, о которых шла речь, были бы распределены в слое dE совершенно равномерным образом. В действительности цель, для которой наша гипотеза была введена, была только определением наивероятнейшего значения параметра, характеризующего систему, например энергии Е\, обладаемой частью Ci системы (Cl, С2). Максимумы же вероятности, входящие в теории, которыми мы занимаемся, всегда чрезвычайно остры. Это значит, что почти во всем протяжении слоя dE значение Ei не отличается заметным образом от значения Е\ш, соответствующего максимуму вероятности. Очевидно, может иметь место следующее: хотя распределение точек P отклоняется заметно от равномерности, но, может быть, область фазовой протяженности, занимающая почти весь слой dE, в то же самое время содержит почти все точки Р. Если это так, то мы можем быть уверены, что состояние, определенное так, как мы это сделали в первой лекции, т. е. соответствующее максимуму величины TI, действительно имеет место в системе в продолжении большей части времени и поэтому с полным правом может быть названо состоянием наиболее вероятным.
22. В то время, как первое определение вероятности — то, которым мы пользовались в первой лекции, приводит к значительным затруднениям, на которые мы указали, нет возражений против второго определения, о котором шла речь в предыдущих параграфах. При таком положении дела, почему не сохранить только это второе определение? Потому что, вообще говоря, нельзя ничего извлечь из этого определения без добавочной гипотезы, благодаря которой оно теряет свое кажущееся преимущество большего согласия с действительностью.
46
Лекция вторая
Чтобы показать это, вернемся к вопросу, рассмотренному в конце первой лекции (п. 7). Рассматриваем два соприкасающихся тела Ci и С2, могущих обмениваться энергией. Для упрощения будем говорить о распределении, проистекающем от этих обменов, выражаясь так, как будто дело идет об определенных значениях энергии, а не о значениях, заключенных в определенном промежутке.
Пусть E — значение заданной полной энергии, и пусть DnD' — два возможных распределения, причем энергии Ci и C2 равны Ei и E2 для распределения D, Е[ и E12 при распределении D\. Если мы хотим пользоваться методом Эйнштейна, то следует себе представить (система предоставлена самой себе) осуществленными все возможные распределения. Если D существует в продолжении промежутка времени г и Df в продолжение промежутка г', то отношение г к г' равно отношению вероятностей D и Df. Против этого нельзя ничего возразить; такой способ рассмотрения, как мы уже указали, представляется совершенно естественным. Появляется следующее затруднение: совсем не видно, почему вероятность данного распределения, например распределение D, можно рассматривать как произведение двух множителей Пі и II2, из которых один относится к Cl, а другой к C2. Для того чтобы формула Больцмана дала величину, тождественную с термодинамической энтропией, нужно, чтобы г было пропорционально произведению 77іТІ2, т\ — произведению 77{7І2, причем величины Пі и П[ зависят исключительно от состояния Cl, П2 и Hl1 — от состояния C2.
