Статистические теории в термодинамике - Лоренц Г.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пі +п2 = п,
Vl + V2 = V.
Вероятность определенной молекулы находиться в объеме Vi равна
Vl
V
и вероятность такой молекулы находиться в объеме V2 равна
V2
V *
Вероятность содержать вполне определенных Tli молекул в объеме Vi, а прочим молекулам заключаться в объеме V2, таким образом, равна
(2Г(?Г-
Если мы не требуем, чтобы молекулы были вполне определенные,
ТО вероятность Tii молекул - каких угодно -- быть В объеме Vi, И Ti2
молекул — в объеме V2 получится умножением предыдущего выражения на число способов, которыми можно образовать две группы из пі и Ti2 молекул. Искомая вероятность, таким образом, равна
п = - п
uwm- <->
TiilTi2
Наивероятнейшее распределение соответствует максимуму П, и этот максимум получается при
Vi V2
тії = -уЩ п2 = —п.
Чтобы доказать это и одновременно найти удобную формулу для вероятностей отклонений, можно рассуждать следующим образом.
Флуктуации в статистических явлениях
55
Если в выражении П заменить и і на и і + 1 и п2 на n2 — 1, то оно умножается на
П2 (18)
Пі + I V2
что можно написать и так:
5
ї; Г гші - \
(пТТТьЛ * П1);
(пі + l)v2 { V
выражение это больше или меньше единицы, смотря по тому, будет ЛИ Пі меньше или больше, чем
nvi~v\ (19)
Для упрощения предположим, что последнее выражение есть целое число; назовем его пю-
Дадим теперь п\ последовательно значения О ^ ^ 5***5 • Ког-
да пі < пю, множитель (18) превосходит единицу и П растет. Затем, когда значение пю достигнуто, П остается стационарным на момент — при переходе от пю к пю + 1. Далее П идет убывая, так как множитель (18) делается меньшим единицы для иі > пю-
Таким образом, вероятность П максимальна для значения иі, даваемого выражением (19), которое можно заменить с большой точностью на
TlVi
V *
Соответствующее значение П20 величины Tl2 равно
nv2
V *
Пусть По — максимальное значение TI, соответствующее пю, п2о; переходим к пі = пю + V, п2 = Ti2O — V, где V считаем положительным. Согласно формуле (17) имеем:
TJ _ TJ п20(п2р - 1) • • • (п20 - V + I) (Viy
(пю + 1)(пю + 2)... (пю + v) \V2'
Если числа пю и И20 оба весьма велики, то эта вероятность имеет заметное значение только для значений v весьма малых по отношению
56
Лекция третья
к пю и 77-20• Итак, можно заменить пю на пю — 1; тогда найдем, пользуясь соотношением:
U2QV1 _
TlioV2
П = Пі
о
(1--4)-(1 -и-ш)
(1 + їад)(1+ Sm) ••• (1 + iWr)
Здесь можно перейти к логарифмам и заменить Iog^l — на — и log + на Тогда получим
v-l
logП = i7Iog0 - E + йЬ) = logiTo “ И" “ 1} + ’
к=1
или, так как в большинстве случаев v велико по сравнению с единицей
П = П0е 1 ,
где мы написали п\ и п2 вместо пю и П2о- Ta же формула получается для отрицательных значений v.
27. Вероятность, сейчас нами полученная, относится к определенному значению отклонения v. Ho так как пі и п2 — весьма большие числа и функция П имеет заметное значение только для v значительно меньшего, то увеличение V на единицу не повлияет заметным образом на значение П. Если dv — промежуток, заметно превосходящий единицу, но такой, что его можно считать бесконечно малым по отношению к пі и П2, то вероятность П имеет (приближенно) то же значение для всех значений v, заключающихся в этом промежутке. Число этих значений может быть представлено величиной dv интервала; тогда для вероятности отклонения, заключающегося между v и v-\-dv, получаем:
Я i YT 2 V П\ ТІ2 ' j
av = IiQe av.
Отсюда легко получить среднее значение V2, т. е. среднее всех значений, которые мы найдем для V2, если будем рассматривать тот же газ
Флуктуации в испускании а-частиц
57
последовательно большое число раз или в тот же самый момент будем рассматривать большое число тождественных систем. Имеем очевидно:
+00 + м
Je 2 Vni И2^2 dy
-OO
V1 = ------------------------
+со
/2 V пі П2 / j
е av
— OO
Итак, это среднее значение1 V2 зависит от обоих объемов, нами рассматриваемых. Если
Vl = V2,
то
”2 1
V1 = -Пі;
если, наоборот, объем v\ — весьма малая часть объема v, то можно писать с большой степенью точности
V2 = пі. (21)
Этот второй результат для нас более интересен.
28. Флуктуации в испускании а-частиц. Предыдущие результаты имеют весьма разнообразные применения; ими можно воспользоваться в целом ряде случаев, в которые входит распределение каких-либо элементов по некоторой области пространства или времени, если только этим распределением управляет случай. Можно рассмотреть, например, удаляясь на момент от предмета этих лекций, испускание а-частиц радиоактивным телом. Положим, что такое тело наблюдается в продолжении времени Т, весьма длинном по сравнению с тем, которое в среднем отделяет испускание двух частиц, но достаточно коротком по отношению к средней продолжительности жизни вещества, так что можно рассматривать последнее находящимся в неизменном состоянии за все время наблюдения. За этот промежуток времени T из вещества будет выброшено N определенных а-частиц, но каких именно мы не знаем и никаким образом не можем влиять на их испускание. Как распределятся они по промежутку времени Т? Если разделить этот
